Einfacher Modul

Sei ${\displaystyle R}$  ein Ring und ${\displaystyle M}$  ein ${\displaystyle R}$ -Modul mit ${\displaystyle M\neq \{0\}}$ .

${\displaystyle M}$  heißt einfach, wenn ${\displaystyle \{0\}}$  und ${\displaystyle M}$  die einzigen Untermoduln von ${\displaystyle M}$  sind.

Ein Modul ${\displaystyle M}$  über einem Ring ${\displaystyle R}$  ist genau dann einfach, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle M\neq \{0\}}$  und jedes Element außer ${\displaystyle 0}$  erzeugt bereits ${\displaystyle M}$ 
• ${\displaystyle M}$  ist isomorph zu einem Quotientenmodul ${\displaystyle R/I}$ , wobei ${\displaystyle I}$  ein maximales (Links- / Rechts-)Ideal des Rings ${\displaystyle R}$  ist.
• ${\displaystyle M}$  hat die Länge 1.

Einfache Moduln sind stets artinsch und noethersch.

Viele Anwendungen hat das Lemma von Schur. Dieses besagt etwa, dass der Endomorphismenring ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)}$  eines einfachen ${\displaystyle R}$ -Moduls ${\displaystyle M}$  ein Schiefkörper ist.

• Ist ${\displaystyle p}$  eine Primzahl, so ist ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  ein einfacher ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Modul. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass Moduln insbesondere Gruppen sind, und aus dem Satz von Lagrange.
• Ist dagegen ${\displaystyle n>1}$  keine Primzahl, so ist ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  kein einfacher ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Modul. Denn dann besitzt ${\displaystyle n}$  einen echten Teiler ${\displaystyle m}$ , und der von ${\displaystyle m}$  erzeugte Untermodul ist weder ${\displaystyle 0}$  noch der ganze Modul.

(Zusammengefasst: Die einfachen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Moduln sind genau die ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  für Primzahlen ${\displaystyle p}$ .)

• Ist ${\displaystyle R}$  ein Körper, so sind ${\displaystyle R}$ -Moduln nichts anderes als Vektorräume über ${\displaystyle R}$ . Diese sind genau dann einfach, wenn sie eindimensional sind.