Bewertung (Algebra)

Eine Bewertung eines Körpers ${\displaystyle K}$  ist eine Funktion ${\displaystyle \varphi \colon K\to P}$  in einen angeordneten Körper ${\displaystyle P}$  mit den Eigenschaften^[1][2][3]

1. ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$  und ${\displaystyle \varphi (x)=0\iff x=0}$ 
2. ${\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)}$ 
3. ${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)}$ 

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion ${\displaystyle |x|}$  auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} }$ . Eine Bewertung ${\displaystyle |\cdot |\colon K\to \mathbb {R} }$  heißt nicht-archimedisch, wenn ${\displaystyle |n|\leq 1}$  für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Eine Bewertung ist genau dann nicht-archimedisch, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Ist ${\displaystyle G}$  eine totalgeordnete abelsche Gruppe und ${\displaystyle K}$  ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \}}$ 

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$ 
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$ 
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$ 

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$ .

${\displaystyle K}$  heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe ${\displaystyle v(K^{\times })\subseteq G}$ .

Zwei Bewertungen ${\displaystyle v_{1}}$  und ${\displaystyle v_{2}}$  heißen äquivalent, wenn ${\displaystyle v_{1}(a)<1\Longleftrightarrow v_{2}(a)<1}$  gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Ein Integritätsbereich ${\displaystyle A}$  heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element ${\displaystyle x}$  des Quotientenkörpers von ${\displaystyle A}$  gilt ${\displaystyle x\in A}$  oder ${\displaystyle x^{-1}\in A}$ .

Ist ${\displaystyle A}$  ein Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$ , so kann man eine Bewertung auf ${\displaystyle K}$  mit Wertegruppe ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$  definieren:

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \},\quad v(x)=\left\{{\begin{matrix}\infty &x=0\\{}[x]&x\in K^{\times };\end{matrix}}\right.}$ 

dabei bezeichnet ${\displaystyle [x]}$  das Bild von ${\displaystyle x}$  in ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$ ; die Ordnung auf ${\displaystyle G}$  ist definiert durch

${\displaystyle [x]\geq [y]\iff xy^{-1}\in A}$  für ${\displaystyle x,y\in K^{\times }.}$ 

Ist umgekehrt ${\displaystyle K}$  ein bewerteter Körper mit Bewertung ${\displaystyle v}$ , so ist

${\displaystyle \{x\in K\mid v(x)\geq 0\}}$ 

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung ${\displaystyle v}$  genannt wird. Die Gruppe ${\displaystyle K^{\times }/A^{\times }}$  ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von ${\displaystyle v}$ .

Für einen Körper ${\displaystyle K}$  gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf ${\displaystyle K}$  und Bewertungsringen, die in ${\displaystyle K}$  enthalten sind.

Es sei ${\displaystyle K}$  ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

${\displaystyle v\colon K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ 

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$ 
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$ 
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$ 

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$ . ${\displaystyle K}$  zusammen mit ${\displaystyle v}$  heißt diskret bewerteter Körper.

• die ${\displaystyle p}$ -Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ 
• die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Die Teilmenge

${\displaystyle A:=\left\{x\in K\mid v(x)\geq 0\right\}}$ 

bildet einen Unterring von ${\displaystyle K}$ , den Bewertungsring von ${\displaystyle v}$ . Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:=\{x\mid x\in K,v(x)>0\}}$ , welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$  ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

${\displaystyle v(x)=\sup \left\{k\in \mathbb {Z} \mid x\in {\mathfrak {m}}^{k}\right\}}$ 

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von ${\displaystyle A}$  definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

Es sei ${\displaystyle p}$  eine Primzahl.

Die ${\displaystyle p}$ -Bewertung (auch: die ${\displaystyle p}$ -adische Bewertung oder der ${\displaystyle p}$ -Exponent) ${\displaystyle v_{p}(n)}$  einer natürlichen oder ganzen Zahl ${\displaystyle n}$  ist die größte Zahl ${\displaystyle k}$ , so dass ${\displaystyle n}$  noch durch ${\displaystyle p^{k}}$  teilbar ist. Die ${\displaystyle p}$ -Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl ${\displaystyle p}$  in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}},}$ 

so ist

${\displaystyle v_{p_{1}}(n)=a_{1},\quad v_{p_{2}}(n)=a_{2},\quad \ldots ,\quad v_{p_{k}}(n)=a_{k}.}$ 

Tritt eine Primzahl ${\displaystyle p}$  nicht in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}$  auf, dann ist ${\displaystyle v_{p}(n)=0}$ .

Man setzt ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty }$ , weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die ${\displaystyle p}$ -Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die ${\displaystyle p}$ -Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der ${\displaystyle p}$ -Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl ${\displaystyle r={\tfrac {m}{n}}}$  mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$  ist also

${\displaystyle v_{p}(r)=v_{p}(m)-v_{p}(n).}$ 

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs ${\displaystyle m/n}$  auf, ist ${\displaystyle v_{p}(r)}$  also eine negative Zahl.

Die ${\displaystyle p}$ -Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

${\displaystyle r\mapsto p^{-v_{p}(r)}}$ 

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

Eine ${\displaystyle p}$ -ganze Zahl (auch "${\displaystyle p}$ -adisch ganze Zahl" oder "für ${\displaystyle p}$  ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative ${\displaystyle p}$ -Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch ${\displaystyle p}$  teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht ${\displaystyle p}$ -ganz sind, werden manchmal auch "${\displaystyle p}$ -gebrochen" genannt.

Die Menge aller ${\displaystyle p}$ -ganzen Zahlen ist ein Unterring von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$  geschrieben wird. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$  ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich ${\displaystyle p}$ .

Ist allgemeiner ${\displaystyle S}$  eine Menge von Primzahlen, so ist eine ${\displaystyle S}$ -ganze Zahl eine rationale Zahl, die ${\displaystyle p}$ -ganz für jedes ${\displaystyle p\notin S}$  ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus ${\displaystyle S}$  teilbar ist. Die Menge der ${\displaystyle S}$ -ganzen Zahlen bildet einen Unterring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$  von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Beispiele

• Für ${\displaystyle S=\emptyset }$  ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} }$ .
• Für eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$  und ${\displaystyle S=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$  ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} _{(p)}}$ , der diskrete Bewertungsring der ${\displaystyle p}$ -ganzen Zahlen.
• Für ${\displaystyle S=\{2,5\}}$  ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$  der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$  der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$ , also Körpern mit einem Absolutbetrag ${\displaystyle |\cdot |}$ , zugelassen werden.^[4] Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen ${\displaystyle R}$ -(Links)-Modul ${\displaystyle M}$  über einem unitären Ring mit Betrag ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$  ersetzt wird. Eine Funktion ${\displaystyle \|\cdot \|\colon M\to \mathbb {R} _{+}}$  heißt dann Norm auf dem Modul ${\displaystyle M}$ , wenn für alle ${\displaystyle x,y\in M}$  und alle Skalare ${\displaystyle \alpha \in R}$  die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring ${\displaystyle R}$  der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul ${\displaystyle M}$  die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

• B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, Achtzehntes Kapitel: "Bewertete Körper", S. 200–234.
• J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-5403-7547-3, Kapitel II: "Bewertungstheorie", S. 103–191.
• Serge Lang: Algebra, Springer (2005), ISBN 0-387-95385-X, Absolute Values, S. 465–499.

• Valuation (MathWorld)
• Valuation (Encyclopedia of Mathematics)

1. ↑ Waerden, op. cit., S. 200
2. ↑ Neukirch, op. cit., S. 121
3. ↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 2. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 1988, Kapitel 4. S. 65
4. ↑ Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1997, S. 69.