Calendari perpetu

Un calendari perpetu indica el dia de la setmana per a qualsevol data de qualsevol any —a diferència d'un calendari tradicional, que es limita a donar les dades d'un any concret.

Els calendaris perpetus consistien originàriament en una sèrie de taules que permetien calcular el dia de la setmana d'una data. Més recentment s'han fet calendaris perpetus implementats com a dispositius mecànics, electrònics, digitals, o programes d'ordinador.

En els calendaris perpetus de taules, s'usen diverses taules mestres per a ajudar a conèixer el dia de la setmana d'una data. L'ús d'aquestes taules evita fer càlculs complexos, ja que aquests estan implícits en la mateixa estructura de les taules.

La forma exacta per a usar-los varia d'un calendari perpetu a un altre, però, a grans trets, d'acord amb la data que es tingui, cal fer una sèrie de recerques i càlculs aritmètics senzills, que donen com a resultat un nombre que ens durà a una altra taula en què caldrà buscar un altre nombre i calcular novament, fins que al final s'arriba a una última taula en què és el dia de la setmana de la data, (diumenge, dilluns, dimarts, dimecres, dijous, divendres o dissabte).

Un exemple en seria el següent: prenem una data dels tipus dd/mm/aass, en què:

El nombre	correspon a	amb les limitacions
d	dia del mes	d'1 a 31
a	darreres dues xifres de l'any (any mod100)	de 0 a 99
s	la xifra del segle (el resultat sencer de l'any/100)	cap

El dia del mes mòdul 7 dona la primera suma (D) de la suma final:

• D=d mod7

La segona suma (M) és donada en la taula següent:

Mes	corresponent número M	si l'any és bixest
Gener	0
Febrer	3
Març	3	+1
Abril	6	+1
Maig	1	+1
Juny	4	+1
Juliol	6	+1
Agost	2	+1
Setembre	5	+1
Octubre	0	+1
Novembre	3	+1
Desembre	5	+1

La tercera suma (A) surt de l'any:

• A=aa mod28 + part sencera de ((aa mod28 -1)/4)

Exemple: pel 2008, el resultat de l'operació serà:

• A= 8 mod28 + (part sencera de (8 mod28 - 1)/4))= 8 + (part sencera de (7/4)) = 8 + 1 = 9

La quarta suma (C) deriva del segle: hi ha 4 possibles resultats de (ss mod4), s'hi associa un número C:

ss mod4 =	0	1	2	3
C =	6	4	2	0

(G+M+A+C)mod7 dona un nombre comprès entre 0 i 6, que indicarà el dia de la setmana (0=Diumenge, 1=Dilluns... 6=Dissabte).

A Terol (estat espanyol), al municipi de Noguera de Albarracín, a la façana de l'església, hi ha unes taules que reben el nom de Calendari perpetu de San Román.

En els calendaris perpetus mecànics, usats en rellotges i altres dispositius, hi ha una sèrie de mecanismes formats per no menys de 350 peces, que permeten mantenir la data sincronitzada amb el dia de la setmana, durant, en general, no més de 200 anys. Han de reconèixer els anys de traspàs per així indicar els 29 de febrer corresponents.

Recentment, amb l'adveniment de les computadores, s'implementen com a programes de computadores que poden mostrar el calendari d'un mes o un any dintre d'un període de segles que depèn del programa.

El calendari perpetu Moret consisteix en una sèrie de tres taules en les quals es pot escollir successivament el segle, l'any, el mes i el dia del mes. S'obté un nombre de l'1 al 7 que correspon al dia de la setmana.

El mètode proposat a continuació és una versió memoritzable del calendari de Moret, en què se suprimeixen o simplifiquen les taules utilitzant la lògica i el càlcul mental.

Aquest mètode atribueix un número al segle, a l'any, al mes i al dia. Sumant els quatre nombres, s'obté el dia de la setmana. Es pot utilitzar aquest mètode per a fer els càlculs a la inversa: quins són els mesos que contenen un dimarts 13? En quants anys trobarem les mateixes dates?

Tots aquests números es defineixen com a mòdul 7, és a dir, que 5 és equivalent a 12, 19, 26... El resultat final de la suma dona el dia de la setmana, en què l'1 és el dilluns. Un resultat final 12 o de -2 correspondrà per exemple a 5, és a dir, divendres.

El nombre secular és el mateix per a tots els anys que comencen per les dues mateixes xifres. Així l'any 2000 queda unit als anys 2001 fins al 2009 encara que no sigui formalment part del segle XXI. El càlcul és diferent en el calendari julià i en el calendari gregorià.

• Calendari julià (fins al 4 d'octubre de 1582 a l'estat espanyol). El nombre secular és igual a: 19 - les dues primeres xifres de l'any

Exemple: pels anys del 1200 fins al 1299, el nombre secular és 19 - 12 = 7.

• Calendari gregorià (des del 15 d'octubre del 1582 a l'estat espanol). La taula següent dona els nombres seculars per a cada segle:

Atenció!: aquest nombre disminueix en dues unitats cada segle, excepte quan les dues primeres xifres són múltiples de 4 (1600 a 1699, 2000 a 2099).

La taula següent dona els anys pels quals el nombre anual és igual a 0. A partir d'aquests anys, el nombre anual augmenta una unitat cada any, i dues si l'any és de traspàs. Si no es vol aprendre la taula de memòria, es pot veure que aquests anys es tornen a trobar cada 28 anys (7 dies de la setmana x 4 anys entre dos de traspàs).

Anys amb nombre anual 0:

		..04	..10
..21	..27	..32	..38
..49	..55	..60	..66
..77	..83	..88	..94

Exemple: l'any 2010 té un nombre anual de 0 i l'any 2016 té un nombre anual de 8, perquè cal comptar els anys de traspàs 2012 i 2016.

Es pot veure que el resultat ve donat per la fórmula següent: per a l'any a, es calcula la divisió de a per 4 (és a dir, el nombre c quan s'escriu a=4c+r, amb r més petit que 4), i el nombre anual ve donat llavors pel residu de la divisió de a+c-5 per 7. En els exemples precedents, trobem: a=10, per tant c=2, llavors a+c-5=7, en què el residu de la divisió per 7 és 0; i pel segon exemple: a=16, per tant c=4, després a+c-5=15, en què el residu de la divisió per 7 és 1; que és equivalent a 8 mòdul 7.

La taula següent dona el nombre mensual per cada mes de l'any:

Mes	Nombre mensual
febrer (any no bixest), març, novembre	0
juny	1
setembre, desembre	2
gener (any de traspàs), abril, juliol	3
gener (any no bixest), octubre	4
maig	5
febrer (any de traspàs), agost	6

Exemple: el mes de gener té un nombre mensual de 4 el 2003 i de 3 el 2004 (any de traspàs).

La darrera xifra és el mateix dia, és a dir, el número del dia dins el mes.

Exemple

dia	nombre secular	+	nombre anual	+	nombre mensual	+	dia	=	resultat (dia de la setmana)
8 d'octubre de 2003	0	+	5	+	4	+	8	=	17 = 2x7 + 3 (dimecres)
Quants divendres 13 hi ha en l'any 2003? Si fem el càlcul anterior reemplaçant el nombre mensual M, n'obtenim la suma següent:
divendres 13 al 2003	0	+	5	+	M	+	13	=	5 (divendres)
en què M = 13 = 1 - 2x7. El nombre mensual 1 només correspon al mes de juny.

• Calendari.
• Calendari gregorià.
• Calendari julià.