Nombre pentatopique

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Un nombre pentatopique ou nombre pentachorique, ou encore nombre hypertétraédrique^[1] est un nombre figuré qui peut idéalement être représenté en dimension 4 par un pentatope (ou hypertétraèdre) constitué d'un empilement de tétraèdres réguliers^[2],[3],[4].

Le nombre pentatopique de rang ${\displaystyle n}$ est donc la somme des ${\displaystyle n}$ premiers nombres tétraédriques :

${\displaystyle S_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}S_{3}(k)=\sum _{k=1}^{n}{k+2 \choose 3}}$

On obtient la formule :

${\displaystyle S_{4}(n)={n+3 \choose 4}}$

Ce sont donc les nombres de la cinquième colonne du triangle de Pascal.

Les premiers nombres pentatopiques sont 1, 5, 15, 35, 70, et 126 (suite A000332 de l'OEIS).

Ils constituent le cas ${\displaystyle k=4}$ des nombres k-simpliciaux comptant des points répartis dans un k-simplexe.

• Nombre pentatopique centré
• Nombre tétraédrique

• Arithmétique et théorie des nombres