Indice d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange.

Soient (G,•) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation x^–1y∈H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

De même, la relation yx^–1∈H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

(Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Plus généralement, elles coïncident si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G.)

L'application X↦X^–1 est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore |G:H|.

• L'indice de G dans lui-même est égal à 1.
• L'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G.
• Soit n un nombre naturel > 0 et considérons le sous-groupe nZ de Z. En raisonnant sur le reste euclidien, on montre^[1] que les classes d'éléments de Z modulo nZ sont exactement les classes de 0, 1, 2, ..., n-1 et que ces n classes sont distinctes. (Puisque le groupe Z est commutatif, il n'y a pas lieu ici de distinguer entre classes à gauche et classes à droite.) L'indice de nZ dans Z est donc égal à n.

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H, autrement dit un sous-groupe de G contenu dans H. On démontre^[2] la formule des indices :

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\cdot |H:K|.}$

Pour K trivial, on retrouve que pour tout sous-groupe H d'un groupe G,

${\displaystyle (1)\qquad |G|=|G:H|\cdot |H|,}$

ce qui peut se démontrer plus directement en remarquant que les classes modulo H sont équipotentes à H, de sorte que G est réunion disjointe de [G:H] « copies » de H.

La relation (1) montre que l'indice d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe. Dans le cas où le groupe est fini, c'est le théorème de Lagrange.

Dans cette section, on désignera par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo le sous-groupe H de G.

Si H et K sont deux sous-groupes de G alors

${\displaystyle [G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K]\leq [G:H][G:K],}$

car l'application

${\displaystyle H/(H\cap K)\to G/K,x=h(H\cap K)\mapsto xK=hK}$

est injective^[3]. En particulier, si [G:H] et [G:K] sont tous deux finis, [G:H∩K] l'est aussi (théorème de Poincaré)^[4].
Si H ou K est normal dans G ou même seulement sous-normal, [G:K] est non seulement un majorant mais un multiple de [H:H∩K]. Sous cette hypothèse on a donc^[5] :

${\displaystyle [G:H\cap K]~{\bigg |}~[G:H][G:K],}$

mais cette propriété n'est pas vraie sans une telle hypothèse, comme le montre l'exemple G = S₃, H = {1, s}, K ={1, t}, où s et t sont deux transpositions distinctes.

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