Meissel-Mertens-Konstante

Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen ${\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}}$ unbeschränkt (hierbei beschreibt ${\displaystyle \mathbb {P} }$ die Menge aller Primzahlen). D. h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right),\qquad M:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{{p\in \mathbb {P} } \atop {p\leq n}}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)}$

Hierbei ist ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante und ${\displaystyle M}$ die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus ${\displaystyle \ln(\ln n)\ }$. Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

${\displaystyle M=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]}$

${\displaystyle M=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\ln {\bigg (}\zeta (k){\bigg )}}$

Hierbei ist ${\displaystyle \mu (n)}$ die Möbiusfunktion und ${\displaystyle \zeta (n)}$ die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

${\displaystyle M=0{,}26149\;72128\;47642\;78375\;54268\;38608\;69585\;90515\;66648\;26119\ldots }$ (Folge A077761 in OEIS)

• Franz Mertens: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 78, 1874, S. 46–62 (GDZ)

• Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A096167 in OEIS (Engel-Entwicklung von M)