| dbo:abstract
|
- En el camp de l'anàlisi numèrica, hom diu que un algorisme és numèricament estable, o que té estabilitat numèrica, quan petites alteracions en les dades no provoquen gaire alteracions del resultat. En particular, això vol dir que els errors d'arrodoniment no repercuteixen en gran manera sobre el càlcul. Hom acostuma a diferenciar entre els conceptes de nombre de condició, estabilitat i , que estan fortament relacionats entre si. L'estabilitat és una propietat dels algorismes, i la condició és una propietat dels problemes. (ca)
- O numerické metodě říkáme, že je stabilní, pokud malé změny výchozích dat jen málo ovlivňují výsledky.Jelikož v praxi je nevýhodné a většinou nemožné počítat s přesnými čísly, jsou výpočty vždy zatíženy chybami. V případě nestabilních metod mají tyto chyby sklon se katastrofálně kupit a růst, a tak většinou zcela znehodnotí řešení. Je-li však nestabilní samotná úloha, kterou řešíme, stabilní metodu se nám nalézt nepodaří. V praxi je však každá úloha alespoň v nějakém smyslu stabilní. (cs)
- دراسة الاستقرار العددي (بالإنجليزية: numerical stability) لطرائق حل المعادلات هو اهتمام من اهتمامات الرياضيات العددية وهو شبيه وشديد الارتباط بدراسة الاستقرار في النظم. أهمية دراسة الاستقرار العددي تنبع من أنه إذا كان لديك معادلة، سواء أن كانت تفاضلية اِعتيادية أو تفاضلية جزئية أو خطية أو غيره، قد يكون من الممكن حلها تحليليا (عن طريق الورقة والقلم واختزال معادلات وتطويعها إلخ) ولكن المشكلة تتمثل في حال التي نريد فيه حلها عن طريق الحاسوب. (ar)
- In der numerischen Mathematik heißt ein Verfahren stabil, wenn es unempfindlich ist gegenüber kleinen Störungen der Daten. Insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler (siehe auch Maschinengenauigkeit) nicht zu stark auf die Berechnung auswirken. Bei der numerischen Lösung mathematischer Probleme unterscheidet man Kondition, Stabilität und Konsistenz. Stabilität ist dabei eine Eigenschaft des Algorithmus, Kondition eine Eigenschaft des Problems. Zwischen diesen Größen besteht folgende Beziehung: Es sei
* das mathematische Problem in Abhängigkeit von der Eingabe
* der numerische Algorithmus
* die gestörten Eingabedaten: Kondition: Wie stark schwankt das Problem bei Störung? Stabilität: Wie stark schwankt der numerische Algorithmus bei Störung? Konsistenz: Wie gut löst der Algorithmus (mit exakter Eingabe) tatsächlich das Problem? Konvergenz: Wie gut löst der gestörte Algorithmus tatsächlich das Problem? Also beschreibt die Stabilität die Robustheit des numerischen Verfahrens gegenüber Störungen in den Eingabedaten, insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler nicht summieren und zu Störungen in der Lösung führen. Die Quantifizierung des Begriffes ist jedoch nach Problem und verwendeter Norm unterschiedlich. Im Regelfall folgt aus Stabilität und Konsistenz (manchmal noch mit einer kleinen Zusatzvoraussetzung) die Konvergenz der numerischen Lösung gegen die analytische Lösung, da sowohl die Fehler der Eingabedaten als auch die Fehler durch die Diskretisierung des Problems gedämpft werden. (de)
- Ένας αλγόριθμος περιγράφει μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος. Κατά την διάρκεια εκτέλεσης του αλγόριθμου από ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή εκτελούνται συνήθως πολλές αριθμητικές πράξεις οι οποίες πολλές φορές συμπεριλαμβάνουν άρρητους αριθμούς. Κατά την διάρκεια των πράξεων γίνονται στρογγυλοποιήσεις δεκαδικών ψηφίων. Όταν ένας αλγόριθμός δεν επηρεάζεται από αυτές τις στρογγυλοποιήσεις και δίνει σωστό αποτέλεσμα σε κάθε είσοδο χαρακτηρίζεται ως "ευσταθής αλγόριθμός" (stable algorithm). (el)
- En la cifereca analitiko, la cifereca stabileco estas dezirinda propraĵo de ciferecaj algoritmoj. La preciza difino de stabileco dependas de la ĉirkaŭteksto, sed ĝi rilatas al la fidindeco de la eligoj de algoritmo: algoritmo estas (ciferece) stabila, se ĝi produktas bonan proksimuman kalkuladon al la vera solvaĵo. Fojfoje la sama kalkulo povas esti efektivigita laŭ pluraj metodoj, kiuj estas ĉiuj algebre ekvivalentas je idealaj reelaj aŭ kompleksaj nombroj, sed en praktiko liveras malsamajn rezultojn, ĉar ili havas malsamajn nivelojn de la cifereca stabileco] Unu el la ordinaraj taskoj de cifereca analitiko estas provi selekti algoritmojn, kiuj estas fortikaj — tio estas — kiuj havas bonan ciferecan stabilecon. (eo)
- En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan rápidamente anomalías y son inútiles para el procesamiento numérico. La estabilidad numérica de un método junto con el número de condición define cuán buen resultado podemos obtener usando métodos aproximados para calcular cierto problema matemático. Algunas veces un solo cálculo puede ser logrado de varias maneras, que pueden ser algebraicamente idénticas en términos de números reales o complejos, pero que en la práctica producen resultados diferentes según varían los niveles de estabilidad numérica. Una de las tareas comunes del análisis numérico es tratar de seleccionar algoritmos robustos: esto es, que tienen una buena estabilidad numérica en un amplio intervalo (range) de situaciones. Estos métodos están frecuentemente disponibles para usuarios de lenguajes de programación como (ver mathematical computing libraries). El uso apropiado de bibliotecas de computación matemática es usualmente muy superior a algoritmos numéricos "caseros". (es)
- En analyse numérique, une branche des mathématiques, la stabilité numérique est une propriété globale d’un algorithme numérique, une qualité nécessaire pour espérer obtenir des résultats ayant du sens. Une définition rigoureuse de la stabilité dépend du contexte. Elle se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l’algorithme de ne pas trop amplifier d’éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus. Le concept de stabilité ne se limite pas aux erreurs d’arrondis et à leurs conséquences. Les algorithmiques dédiés à la résolution d’équations différentielles ou d’équations aux dérivées partielles (en particulier la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis) se basent sur une discrétisation ou un maillage de l’espace (et du temps) ; dans ce cas, la stabilité se réfère à un comportement numérique robuste lorsque le pas de discrétisation ou la taille des mailles tend vers 0. Un algorithme instable peut être qualifié d’inutilisable car les résultats générés peuvent être totalement altérés. Une des tâches de l'analyse numérique est de rechercher des algorithmes dont la stabilité est garantie. (fr)
- In the mathematical subfield of numerical analysis, numerical stability is a generally desirable property of numerical algorithms. The precise definition of stability depends on the context. One is numerical linear algebra and the other is algorithms for solving ordinary and partial differential equations by discrete approximation. In numerical linear algebra, the principal concern is instabilities caused by proximity to singularities of various kinds, such as very small or nearly colliding eigenvalues. On the other hand, in numerical algorithms for differential equations the concern is the growth of round-off errors and/or small fluctuations in initial data which might cause a large deviation of final answer from the exact solution. Some numerical algorithms may damp out the small fluctuations (errors) in the input data; others might magnify such errors. Calculations that can be proven not to magnify approximation errors are called numerically stable. One of the common tasks of numerical analysis is to try to select algorithms which are robust – that is to say, do not produce a wildly different result for very small change in the input data. An opposite phenomenon is instability. Typically, an algorithm involves an approximative method, and in some cases one could prove that the algorithm would approach the right solution in some limit (when using actual real numbers, not floating point numbers). Even in this case, there is no guarantee that it would converge to the correct solution, because the floating-point round-off or truncation errors can be magnified, instead of damped, causing the deviation from the exact solution to grow exponentially. (en)
- 数値的安定性（すうちてきあんていせい、英: numerical stability）は、数値解析におけるアルゴリズムの望ましい属性の1つ。「安定性」の正確な定義は文脈に依存するが、基本的にはアルゴリズムの正確性に関連する。 ある計算を実施する方法がいくつか存在することがあり、それらは理想的な実数や複素数では代数学的に等価だが、デジタルコンピュータで実行すると結果に差異が生じる。ある計算方法は途中で生じる誤差を弱めるし、別の計算方法は誤差を拡大させる。誤差を拡大させない計算方法は「数値的に安定」であるという。数値解析では、堅牢なアルゴリズム、すなわち数値的安定性のよいアルゴリズムを選択することが重要である。 (ja)
- La stabilità numerica (anche algoritmica o computazionale), nell'ambito dell'analisi numerica, è una proprietà desiderabile degli algoritmi numerici. Il significato esatto del termine varia ma, in generale, riflette l'accuratezza del risultato. Non esistono metodi generali per valutare la stabilità di un algoritmo. Solitamente, si ricercano, tramite appositi metodi - come il metodo del simplesso - all'interno del dominio di un algoritmo, quei valori per cui l'algoritmo stesso diventa instabile: ossia la minima variazione dei dati porta a grandi scostamenti nell'errore. Un esempio classico è il calcolo dell'area del triangolo con la formula di Erone, instabile per angoli molto piccoli. Un altro esempio classico è il caso dell'overflow/underflow: basta pensare alle due operazioni dove 10-a è pari o inferiore all'epsilon di macchina, e 10b al massimo numero rappresentabile. Un errore, una volta che è stato generato, generalmente si propagherà attraverso il calcolo. Questo conduce al concetto di stabilità numerica: un algoritmo si dice numericamente stabile se un errore, una volta che sia stato generato, non cresce troppo durante il calcolo. (it)
- Algorytm numerycznie stabilny – algorytm, który dla nieco zaburzonych danych zwraca nieco zaburzone wyniki. Schematycznie można przedstawić to tak: Dane wejściowe : Rzeczywista reprezentacja danych - Obliczanie danych pośrednich: Rzeczywista reprezentacja: Rzeczywista reprezentacja: ... Rzeczywista reprezentacja wyniku ostatecznego: Zatem na każdym poziomie obliczeń tracimy (potencjalnie) dokładność. Algorytm stabilny numerycznie to taki, który nie dopuszcza do sytuacji, kiedy w wyniku kumulacji poszczególnych błędów możemy uzyskać wysoce przekłamany wynik (często zupełnie niemający cech prawidłowego rozwiązania). Może to być spowodowane np. przez utratę cyfr znaczących. Mamy więc wynik "lekko zaburzony", tj. ich błąd jest spowodowany wyłącznie ułomną reprezentacją danych w komputerze. (pl)
- No subcampo matemático da análise numérica, estabilidade numérica é uma propriedade desejável de algoritmos numéricos. A definição precisa de estabilidade depende do contexto, mas é relacionada à precisão do algoritmo. (pt)
- В вычислительной математике вычислительная устойчивость является обычно желательным свойством численных алгоритмов. Точное определение устойчивости зависит от контекста. Один из них — численная линейная алгебра, другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения. В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям, таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения. С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений проблема заключается в увеличении ошибок округления и/или изначально небольших флуктуаций в исходных данных, которые могут привести к значительному отклонению окончательного ответа от точного решения. Некоторые численные алгоритмы могут ослаблять небольшие отклонения (ошибки) во входных данных; другие могут увеличить такие ошибки.Расчёты, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются вычислительно устойчивыми.Одна из распространённых задач численного анализа — попытаться выбрать надёжные алгоритмы, то есть не дать сильно отличающийся результат при очень небольшом изменении входных данных. Противоположным явлением является неустойчивость. Как правило, алгоритм включает в себя приближённый метод, и в некоторых случаях можно доказать, что алгоритм будет приближаться к правильному решению в некотором пределе (при использовании на самом деле действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой). Даже в этом случае нет гарантии, что он будет сходиться к правильному решению, потому что ошибки округления или усечения с плавающей точкой могут расти, а не уменьшаться, что приведёт к экспоненциальному росту отклонения от точного решения. (ru)
- 在数值分析中，数值稳定性是一种希望得到的数值算法特性。根据算法的不同，稳定性的精确定义也有所不同，但是都与算法的精确性与正确性相关。 理论上有些计算下可以用多种代数上等价的理想实数或者复数算法来实现，但是实际上由于不同的数值稳定性可能会得到不同的结果。数值稳定性的一项任务就是选择強健（robust，即有良好数值稳定性）的算法。 (zh)
- В обчислювальній математиці числова стійкість є зазвичай бажаною властивістю чисельних алгоритмів. Точне визначення стійкості залежить від контексту. Один з них — чисельна лінійна алгебра, інший — алгоритми розв'язування звичайних рівнянь і диференціальних рівнянь у часткових похідних за допомогою дискретного наближення. У чисельній лінійній алгебрі основною проблемою є нестабільності, викликані близькістю до різних особливостей (singularity), таких як дуже малі або майже рівні власні значення. З іншого боку, в чисельних алгоритмах для диференціальних рівнянь проблема полягає в зростанні похибок округлення та/або спочатку невеликих флуктуацій у початкових даних, які можуть призвести до значного відхилення остаточної відповіді від точного розв'язку. Деякі чисельні алгоритми можуть послабити невеликі відхилення (похибки) у вхідних даних; інші можуть збільшити такі похибки. Розрахунки, які, як можна довести, не збільшують помилок апроксимації, називають обчислювально стійкими. Одна з поширених задач чисельного аналізу — спробувати вибрати надійні алгоритми, тобто не дати дуже відмінного результату за дуже малої зміни вхідних даних. Протилежним явищем є нестійкість. Як правило, алгоритм включає наближений метод, і в деяких випадках можна довести, що алгоритм буде наближатися до правильного розв'язку в деякій границі (за використання насправді дійсних чисел, а не чисел з рухомою комою). Навіть у цьому випадку немає гарантії, що він буде збігатися до правильного розв'язку, оскільки похибки округлення чисел із рухомою комою можуть зростати, а не зменшуватися, що призведе до експоненційного зростання відхилення від точного розв'язку. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En el camp de l'anàlisi numèrica, hom diu que un algorisme és numèricament estable, o que té estabilitat numèrica, quan petites alteracions en les dades no provoquen gaire alteracions del resultat. En particular, això vol dir que els errors d'arrodoniment no repercuteixen en gran manera sobre el càlcul. Hom acostuma a diferenciar entre els conceptes de nombre de condició, estabilitat i , que estan fortament relacionats entre si. L'estabilitat és una propietat dels algorismes, i la condició és una propietat dels problemes. (ca)
- O numerické metodě říkáme, že je stabilní, pokud malé změny výchozích dat jen málo ovlivňují výsledky.Jelikož v praxi je nevýhodné a většinou nemožné počítat s přesnými čísly, jsou výpočty vždy zatíženy chybami. V případě nestabilních metod mají tyto chyby sklon se katastrofálně kupit a růst, a tak většinou zcela znehodnotí řešení. Je-li však nestabilní samotná úloha, kterou řešíme, stabilní metodu se nám nalézt nepodaří. V praxi je však každá úloha alespoň v nějakém smyslu stabilní. (cs)
- دراسة الاستقرار العددي (بالإنجليزية: numerical stability) لطرائق حل المعادلات هو اهتمام من اهتمامات الرياضيات العددية وهو شبيه وشديد الارتباط بدراسة الاستقرار في النظم. أهمية دراسة الاستقرار العددي تنبع من أنه إذا كان لديك معادلة، سواء أن كانت تفاضلية اِعتيادية أو تفاضلية جزئية أو خطية أو غيره، قد يكون من الممكن حلها تحليليا (عن طريق الورقة والقلم واختزال معادلات وتطويعها إلخ) ولكن المشكلة تتمثل في حال التي نريد فيه حلها عن طريق الحاسوب. (ar)
- Ένας αλγόριθμος περιγράφει μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος. Κατά την διάρκεια εκτέλεσης του αλγόριθμου από ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή εκτελούνται συνήθως πολλές αριθμητικές πράξεις οι οποίες πολλές φορές συμπεριλαμβάνουν άρρητους αριθμούς. Κατά την διάρκεια των πράξεων γίνονται στρογγυλοποιήσεις δεκαδικών ψηφίων. Όταν ένας αλγόριθμός δεν επηρεάζεται από αυτές τις στρογγυλοποιήσεις και δίνει σωστό αποτέλεσμα σε κάθε είσοδο χαρακτηρίζεται ως "ευσταθής αλγόριθμός" (stable algorithm). (el)
- 数値的安定性（すうちてきあんていせい、英: numerical stability）は、数値解析におけるアルゴリズムの望ましい属性の1つ。「安定性」の正確な定義は文脈に依存するが、基本的にはアルゴリズムの正確性に関連する。 ある計算を実施する方法がいくつか存在することがあり、それらは理想的な実数や複素数では代数学的に等価だが、デジタルコンピュータで実行すると結果に差異が生じる。ある計算方法は途中で生じる誤差を弱めるし、別の計算方法は誤差を拡大させる。誤差を拡大させない計算方法は「数値的に安定」であるという。数値解析では、堅牢なアルゴリズム、すなわち数値的安定性のよいアルゴリズムを選択することが重要である。 (ja)
- No subcampo matemático da análise numérica, estabilidade numérica é uma propriedade desejável de algoritmos numéricos. A definição precisa de estabilidade depende do contexto, mas é relacionada à precisão do algoritmo. (pt)
- 在数值分析中，数值稳定性是一种希望得到的数值算法特性。根据算法的不同，稳定性的精确定义也有所不同，但是都与算法的精确性与正确性相关。 理论上有些计算下可以用多种代数上等价的理想实数或者复数算法来实现，但是实际上由于不同的数值稳定性可能会得到不同的结果。数值稳定性的一项任务就是选择強健（robust，即有良好数值稳定性）的算法。 (zh)
- En la cifereca analitiko, la cifereca stabileco estas dezirinda propraĵo de ciferecaj algoritmoj. La preciza difino de stabileco dependas de la ĉirkaŭteksto, sed ĝi rilatas al la fidindeco de la eligoj de algoritmo: algoritmo estas (ciferece) stabila, se ĝi produktas bonan proksimuman kalkuladon al la vera solvaĵo. (eo)
- En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan rápidamente anomalías y son inútiles para el procesamiento numérico. (es)
- In der numerischen Mathematik heißt ein Verfahren stabil, wenn es unempfindlich ist gegenüber kleinen Störungen der Daten. Insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler (siehe auch Maschinengenauigkeit) nicht zu stark auf die Berechnung auswirken. Bei der numerischen Lösung mathematischer Probleme unterscheidet man Kondition, Stabilität und Konsistenz. Stabilität ist dabei eine Eigenschaft des Algorithmus, Kondition eine Eigenschaft des Problems. Zwischen diesen Größen besteht folgende Beziehung: Es sei (de)
- In the mathematical subfield of numerical analysis, numerical stability is a generally desirable property of numerical algorithms. The precise definition of stability depends on the context. One is numerical linear algebra and the other is algorithms for solving ordinary and partial differential equations by discrete approximation. (en)
- En analyse numérique, une branche des mathématiques, la stabilité numérique est une propriété globale d’un algorithme numérique, une qualité nécessaire pour espérer obtenir des résultats ayant du sens. Une définition rigoureuse de la stabilité dépend du contexte. Elle se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l’algorithme de ne pas trop amplifier d’éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus. Un algorithme instable peut être qualifié d’inutilisable car les résultats générés peuvent être totalement altérés. (fr)
- La stabilità numerica (anche algoritmica o computazionale), nell'ambito dell'analisi numerica, è una proprietà desiderabile degli algoritmi numerici. Il significato esatto del termine varia ma, in generale, riflette l'accuratezza del risultato. Non esistono metodi generali per valutare la stabilità di un algoritmo. Solitamente, si ricercano, tramite appositi metodi - come il metodo del simplesso - all'interno del dominio di un algoritmo, quei valori per cui l'algoritmo stesso diventa instabile: ossia la minima variazione dei dati porta a grandi scostamenti nell'errore. (it)
- Algorytm numerycznie stabilny – algorytm, który dla nieco zaburzonych danych zwraca nieco zaburzone wyniki. Schematycznie można przedstawić to tak: Dane wejściowe : Rzeczywista reprezentacja danych - Obliczanie danych pośrednich: Rzeczywista reprezentacja: Rzeczywista reprezentacja: ... Rzeczywista reprezentacja wyniku ostatecznego: Mamy więc wynik "lekko zaburzony", tj. ich błąd jest spowodowany wyłącznie ułomną reprezentacją danych w komputerze. (pl)
- В обчислювальній математиці числова стійкість є зазвичай бажаною властивістю чисельних алгоритмів. Точне визначення стійкості залежить від контексту. Один з них — чисельна лінійна алгебра, інший — алгоритми розв'язування звичайних рівнянь і диференціальних рівнянь у часткових похідних за допомогою дискретного наближення. (uk)
- В вычислительной математике вычислительная устойчивость является обычно желательным свойством численных алгоритмов. Точное определение устойчивости зависит от контекста. Один из них — численная линейная алгебра, другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения. В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям, таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения. (ru)
|
