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- The cokernel of a linear mapping of vector spaces f : X → Y is the quotient space Y / im(f) of the codomain of f by the image of f. The dimension of the cokernel is called the corank of f. Cokernels are dual to the kernels of category theory, hence the name: the kernel is a subobject of the domain (it maps to the domain), while the cokernel is a quotient object of the codomain (it maps from the codomain). Intuitively, given an equation f(x) = y that one is seeking to solve, the cokernel measures the constraints that y must satisfy for this equation to have a solution – the obstructions to a solution – while the kernel measures the degrees of freedom in a solution, if one exists. This is elaborated in , below. More generally, the cokernel of a morphism f : X → Y in some category (e.g. a homomorphism between groups or a bounded linear operator between Hilbert spaces) is an object Q and a morphism q : Y → Q such that the composition q f is the zero morphism of the category, and furthermore q is universal with respect to this property. Often the map q is understood, and Q itself is called the cokernel of f. In many situations in abstract algebra, such as for abelian groups, vector spaces or modules, the cokernel of the homomorphism f : X → Y is the quotient of Y by the image of f. In topological settings, such as with bounded linear operators between Hilbert spaces, one typically has to take the closure of the image before passing to the quotient. (en)
- Dalam matematika, kokernel pada dari ruang vektor f : X → Y adalah Y / im(f) dari kodomain dari f dengan gambar f . Dimensi dari kokernel disebut corank dari f . Kokernel ke , maka namanya: kernel adalah subobjek dari domain (memetakan ke domain), sedangkan cokernel adalah dari kodomain (dipetakan dari kodomain). Secara intuitif, diberi persamaan f(x) = y yang ingin dipecahkan,cokernel mengukur batasan yang harus dipenuhi oleh y agar persamaan ini memiliki solusi sebagai penghalang solusi, sementara kernel mengukur derajat kebebasan dalam solusi, jika ada. Ini diuraikan dalam , di bawah. (in)
- En mathématiques, le conoyau d'un morphisme f : X → Y (par exemple un homomorphisme entre groupes ou bien un opérateur borné entre espaces de Hilbert) est la donnée d'un objet Q et d'un morphisme q : Y → Q tel que le morphisme composé soit le morphisme nul, et de plus Q est, en un certain sens, le plus "gros" objet possédant cette propriété. Souvent l'application q est sous-entendue, et Q est lui-même appelé conoyau de f. Les conoyaux sont les duaux des noyaux des catégories, d'où le nom. En de nombreux cas d'algèbre générale, tel que les groupes abéliens, les espaces vectoriels ou les modules, le conoyau d'un homomorphisme f : X → Y est le quotient de Y par l'image de f autrement dit, . Dans un contexte topologique, comme pour un opérateur linéaire borné entre deux espaces de Hilbert, il faut prendre l'adhérence de l'image avant de passer au quotient. Voir aussi l'article court Conoyau d'une application linéaire. (fr)
- 数学において、ベクトル空間の線型写像 f : X → Y の余核 (よかく、cokernel) は f の終域 の f の像による商空間 Y/im(f) である。余核の次元は f の余次元 (corank) と呼ばれる。 余核は圏論の核の双対であるので、その名前がついている。核は定義域の部分対象であるのに対し（それは定義域に写す）、余核は終域の商対象である（それは終域から写す）。 直感的には、解きたい方程式 f(x) = y が与えられると、余核は方程式が解を持つために y が満たさなければならない制約 - 解の障害物 - を測り、一方核は解の自由さの度合を、存���すれば、測る。これは下でで詳述される。 より一般に、ある圏において射 f : X → Y （例えば群の間の準同型やヒルベルト空間の間の有界線型作用素）の余核は対象 Q と射 q : Y → Q であって合成 q f が圏のゼロ射であり、さらに、q はこの性質に関して普遍的であるようなものである。しばしば写像 q は省略され Q 自身が f の余核と呼ばれる。 アーベル群、ベクトル空間、加群といった抽象代数学の多くの状況において、準同型 f : X → Y の余核は Y の f の像による商である。ヒルベルト空間の間の有界線型作用素のような位相的な設定においては、典型的には商にいく前に像の閉包をとらなければならない。 (ja)
- 선형대수학과 범주론에서 여핵(餘核, 영어: cokernel 코커널[*])은 핵에 대한 쌍대(dual) 개념이다. 기호는 . (ko)
- In matematica, il conucleo (o in inglese cokernel) di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è lo spazio vettoriale quoziente , dove è l'immagine di . La dimensione del conucleo è detta corango di . Nella teoria delle categorie, il conucleo è del . Mentre il nucleo è un sotto-oggetto del dominio (mappa nel dominio), il conucleo è un oggetto quoziente del codominio (mappa dal codominio). Intuitivamente, data un'equazione , il conucleo misura i "vincoli" che deve rispettare affinché l'equazione abbia una soluzione. Più in generale, il conucleo di un morfismo in qualche categoria è un oggetto e un morfismo tali che la composizione è il della categoria, e inoltre è universale rispetto a tale proprietà. In analisi funzionale, un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita è detto operatore di Fredholm. (it)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de cokern van een lineaire afbeelding van vectorruimten de quotiëntruimte van het codomein van en het beeld van . Cokernen zijn dualen van de kernen uit de categorietheorie, vandaar de naam: de kern is een deelobject van het domein (de kern beeldt af op het domein), terwijl de cokern een quotiëntobject is van het codomein (de cokern beeldt af vanaf het codomein). (nl)
- В теорії категорій коядро — поняття, двоїсте до ядра. Ядро є підоб'єктом прообразу, а коядро — фактороб'єктом образу. (uk)
- В теории категорий коядро — это понятие, двойственное к ядру — ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять y, чтобы данное уравнение имело решение. (ru)
- 在数学中，向量空间F中线性映射X→Y的余核（cokernel，也作上核）是F的陪域关于F的像的商空间，即Y/Im(F)。上核的维数称为F的余秩（corank）。 范畴论中，余核与是对偶的，因而得名。核是域的（核映射到域），而余核是上域的（上核由上域映射到）。 直观地，要求解方程f(x)=y，余核表示使方程有解时对y的限制，而核则表示解的自由度。更一般地，态射f: X→Y在某些范畴中（例如群的同态，或希尔伯特空间之间的有界线性算子），是一个对象Q和一个态射q: Y→Q，使qf是该范畴的，并且q的这个性质是泛性质。Q就称为f的余核。 在抽象代数的许多情况下，如阿贝尔群、向量空间、模中，同态f: X→Y的余核是Y关于f的像的商。在拓扑学中，如希尔伯特空间之间的有界线性算子，通常必须先取像的闭包，然后再取这个商。 (zh)
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- 数学において、ベクトル空間の線型写像 f : X → Y の余核 (よかく、cokernel) は f の終域 の f の像による商空間 Y/im(f) である。余核の次元は f の余次元 (corank) と呼ばれる。 余核は圏論の核の双対であるので、その名前がついている。核は定義域の部分対象であるのに対し（それは定義域に写す）、余核は終域の商対象である（それは終域から写す）。 直感的には、解きたい方程式 f(x) = y が与えられると、余核は方程式が解を持つために y が満たさなければならない制約 - 解の障害物 - を測り、一方核は解の自由さの度合を、存在すれば、測る。これは下でで詳述される。 より一般に、ある圏において射 f : X → Y （例えば群の間の準同型やヒルベルト空間の間の有界線型作用素）の余核は対象 Q と射 q : Y → Q であって合成 q f が圏のゼロ射であり、さらに、q はこの性質に関して普遍的であるようなものである。しばしば写像 q は省略され Q 自身が f の余核と呼ばれる。 アーベル群、ベクトル空間、加群といった抽象代数学の多くの状況において、準同型 f : X → Y の余核は Y の f の像による商である。ヒルベルト空間の間の有界線型作用素のような位相的な設定においては、典型的には商にいく前に像の閉包をとらなければならない。 (ja)
- 선형대수학과 범주론에서 여핵(餘核, 영어: cokernel 코커널[*])은 핵에 대한 쌍대(dual) 개념이다. 기호는 . (ko)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de cokern van een lineaire afbeelding van vectorruimten de quotiëntruimte van het codomein van en het beeld van . Cokernen zijn dualen van de kernen uit de categorietheorie, vandaar de naam: de kern is een deelobject van het domein (de kern beeldt af op het domein), terwijl de cokern een quotiëntobject is van het codomein (de cokern beeldt af vanaf het codomein). (nl)
- В теорії категорій коядро — поняття, двоїсте до ядра. Ядро є підоб'єктом прообразу, а коядро — фактороб'єктом образу. (uk)
- В теории категорий коядро — это понятие, двойственное к ядру — ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять y, чтобы данное уравнение имело решение. (ru)
- 在数学中，向量空间F中线性映射X→Y的余核（cokernel，也作上核）是F的陪域关于F的像的商空间，即Y/Im(F)。上核的维数称为F的余秩（corank）。 范畴论中，余核与是对偶的，因而得名。核是域的（核映射到域），而余核是上域的（上核由上域映射到）。 直观地，要求解方程f(x)=y，余核表示使方程有解时对y的限制，而核则表示解的自由度。更一般地，态射f: X→Y在某些范畴中（例如群的同态，或希尔伯特空间之间的有界线性算子），是一个对象Q和一个态射q: Y→Q，使qf是该范畴的，并且q的这个性质是泛性质。Q就称为f的余核。 在抽象代数的许多情况下，如阿贝尔群、向量空间、模中，同态f: X→Y的余核是Y关于f的像的商。在拓扑学中，如希尔伯特空间之间的有界线性算子，通常必须先取像的闭包，然后再取这个商。 (zh)
- The cokernel of a linear mapping of vector spaces f : X → Y is the quotient space Y / im(f) of the codomain of f by the image of f. The dimension of the cokernel is called the corank of f. Cokernels are dual to the kernels of category theory, hence the name: the kernel is a subobject of the domain (it maps to the domain), while the cokernel is a quotient object of the codomain (it maps from the codomain). (en)
- Dalam matematika, kokernel pada dari ruang vektor f : X → Y adalah Y / im(f) dari kodomain dari f dengan gambar f . Dimensi dari kokernel disebut corank dari f . Kokernel ke , maka namanya: kernel adalah subobjek dari domain (memetakan ke domain), sedangkan cokernel adalah dari kodomain (dipetakan dari kodomain). (in)
- En mathématiques, le conoyau d'un morphisme f : X → Y (par exemple un homomorphisme entre groupes ou bien un opérateur borné entre espaces de Hilbert) est la donnée d'un objet Q et d'un morphisme q : Y → Q tel que le morphisme composé soit le morphisme nul, et de plus Q est, en un certain sens, le plus "gros" objet possédant cette propriété. Souvent l'application q est sous-entendue, et Q est lui-même appelé conoyau de f. Les conoyaux sont les duaux des noyaux des catégories, d'où le nom. Voir aussi l'article court Conoyau d'une application linéaire. (fr)
- In matematica, il conucleo (o in inglese cokernel) di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è lo spazio vettoriale quoziente , dove è l'immagine di . La dimensione del conucleo è detta corango di . Nella teoria delle categorie, il conucleo è del . Mentre il nucleo è un sotto-oggetto del dominio (mappa nel dominio), il conucleo è un oggetto quoziente del codominio (mappa dal codominio). Intuitivamente, data un'equazione , il conucleo misura i "vincoli" che deve rispettare affinché l'equazione abbia una soluzione. (it)
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