Research on the geometry of binary cubic forms. (Ricerche sulla geometria delle forme binarie cubiche.) (Italian) JFM 02.0477.01
Mem. di Bologna X. 1870 (1870).
Zweck der Arbeit ist, zu zeigen, dass es vortheilhaft ist, die Betrachtung complexer Zahlen in die algebraische Theorie der binären Formen einzuführen. Als Beispiel mögen einige Resultate dienen.
Bezeichnet man mit \(J=(a_0,a_1,a_2,a_3)(z,1)^3\) eine ganze rationale algebraische Function vom dritten Grade mit complexen Coefficienten \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) und einer complexen Variabeln \(z\) mit \(D\) die Determinante \[ =a_0^2 a_3^2+4a_0 a_2^3+4a_1^3 a_3-3a_1^2 a_2^2-6a_0 a_1 a_2 a_3 , \] so ist die Bedingung dafür, dass drei Wurzelpunkte der Gleichung \(J=0\) in gerader Linie liegen, die, dass die Grösse \[ \frac 1 {a_0} \cdot \frac{d\surd D}{da_3} \] des reellen Theiles entbehre. Als Corollar zu diesem Satze ergiebt sich, dass, wenn man eine quadratische Function \[ U=b_0 z^2+2b_1 z+b_2 \] hat, die Gleichung der Geraden, welche die Wurzelpunkte der Gleichung \(U=0\) verbindet, erhalten wird, wenn man den reellen Theil der Grösse \(\frac 1 {\sqrt{b_0 b_2-b_1^2}} \cdot \frac{dU}{dz}\) gleich Null setzt. Setzt man den imaginären Theil dieser Grösse gleich Null, so erhält man die Gleichung der geraden Linie, auf der die von den oben erwähnten Punkten äquidistanten Punkte liegen.
Wenn \(z_1,z_2,z_3\) die Indices von drei Punkten einer Ebene sind und \(z\) der eines vierten, so dass man hat \[ z=-\frac{\lambda z_2 z_3+\mu z_3 z_1+\nu z_1 z_2} {\lambda z_1+\mu z_2 +\nu z_3}, \] und wenn man die reellen Zahlen so variiren lässt, dass sie immer der Relation \(\lambda+\mu+\nu=0\) genügen, so ist der geometrische Ort des Punktes \(z\) der Kreis durch die drei Punkte \(z_1,z_2,z_3\).
Damit die 4 Wurzelpunkte einer biquadratischen Function auf einem Kreise liegen, müssen die 3 Wurzelpunkte der cubischen Resultante in gerader Linie liegen. Aus diesem Satze und einem der vorhergehenden folgt dann, dass wenn man mit \(S,T\) und \(\varDelta\) die quadratische und cubische Invariante und die Discriminante der biquadratischen Function bezeichnet, die Bedingung dafür, dass die 4 Wurzelpunkte auf einem Kreise liegen, darin zu suchen ist, dass die Grösse \(\frac{T}{\surd \varDelta}\) reell sei, oder die Grösse \(\frac{27T^2}{S^3}\) reell sei und zwischen 0 und 1 nicht verschwinde.
Weiter zeigt der Verfasser, dass, wenn man auf einer Ebene die drei Wurzelpunkte der cubischen Form \(J\) als gegeben voraussetzt, man auch die 3 Wurzelpunkte der Evectante \(E\) und die 2 Wurzelpunkte der Hesse’schen Determinante \(H\) finden kann. Diese Constructionen geben auch Gelegenheit zu einer Anwendung der Methode der Dreiliniencoordinaten, wenn man das Wurzelpunktdreieck als Fundamentaldreieck nimmt. Bezeichnet man mit \(H_1,H_2\) die 2 Wurzelpunkte der Hesse’schen Determinanten, mit \(\zeta\) den Schawerpunkt der 3 Wurzelpunkte der cubischen Function \(J\), so kann diese Function (\(O_0=1\) der Einfachheit wegen) immer auf die Form \(J=\frac{(\zeta-H_1)(H_2-z)^3-(H_2-\zeta)(z-H_1)^3}{H_1-H_2}\) gebracht werden, während die Discriminante \(D\), die Hesse’sche Determinante \(H\) und Evactante \(E\) folgende Form annehmen: \[ \begin{aligned} & D=\{(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)(H_1-H_2)\}^2,\\ & H=-(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)(z-H_1)(z-H_2),\\ & E=(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)\{(\zeta-H_1)(H_2-z)^3+(H_2-\zeta)(z-H_1)^3\}.\end{aligned} \] Aus dieser für \(J\) erhaltenen Form geht klar hervor, dass mittelst der Lösung der quadratischen Gleichung \(H=0\), die vollständige cubische Gleichung \(J=0\) zurückgeführt ist auf die binomische Form \(\left(\frac{z-H_1}{H_2-z}\right)^3=\frac{\zeta-H_1}{H_2-\zeta},\) während die Wurzeln der Evectante gegeben sind durch \(\left( \frac{z-H_1}{H_2-z}\right)^3=-\frac{\zeta-H_1}{H_2-\zeta}.\) Diese Methode der Ausflösung der cubischen Gleichung hängt genau mit der von Cayley zusammen. Die vorstehende Formel ist einer ziemlich einfachen geometrischen Interpretation fähig, welche den Verfasser zu einer speciellen cubischen Involution mit 2 dreifachen Punkten führt. Diese Involution ist durch die Gleichung \(J+\kappa E=0\) darstellbar und aus allen Ternen von Punkten zusammengesetzt, für welche das Hesse’sche Determinanten-Paar \((H_1,H_2)\) unveränderlich ist. Sie besitzt viele geometrische Eigenschaften, betreffs deren wir nur auf die Abhandlung selbst verweisen können.
Bezeichnet man mit \(J=(a_0,a_1,a_2,a_3)(z,1)^3\) eine ganze rationale algebraische Function vom dritten Grade mit complexen Coefficienten \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) und einer complexen Variabeln \(z\) mit \(D\) die Determinante \[ =a_0^2 a_3^2+4a_0 a_2^3+4a_1^3 a_3-3a_1^2 a_2^2-6a_0 a_1 a_2 a_3 , \] so ist die Bedingung dafür, dass drei Wurzelpunkte der Gleichung \(J=0\) in gerader Linie liegen, die, dass die Grösse \[ \frac 1 {a_0} \cdot \frac{d\surd D}{da_3} \] des reellen Theiles entbehre. Als Corollar zu diesem Satze ergiebt sich, dass, wenn man eine quadratische Function \[ U=b_0 z^2+2b_1 z+b_2 \] hat, die Gleichung der Geraden, welche die Wurzelpunkte der Gleichung \(U=0\) verbindet, erhalten wird, wenn man den reellen Theil der Grösse \(\frac 1 {\sqrt{b_0 b_2-b_1^2}} \cdot \frac{dU}{dz}\) gleich Null setzt. Setzt man den imaginären Theil dieser Grösse gleich Null, so erhält man die Gleichung der geraden Linie, auf der die von den oben erwähnten Punkten äquidistanten Punkte liegen.
Wenn \(z_1,z_2,z_3\) die Indices von drei Punkten einer Ebene sind und \(z\) der eines vierten, so dass man hat \[ z=-\frac{\lambda z_2 z_3+\mu z_3 z_1+\nu z_1 z_2} {\lambda z_1+\mu z_2 +\nu z_3}, \] und wenn man die reellen Zahlen so variiren lässt, dass sie immer der Relation \(\lambda+\mu+\nu=0\) genügen, so ist der geometrische Ort des Punktes \(z\) der Kreis durch die drei Punkte \(z_1,z_2,z_3\).
Damit die 4 Wurzelpunkte einer biquadratischen Function auf einem Kreise liegen, müssen die 3 Wurzelpunkte der cubischen Resultante in gerader Linie liegen. Aus diesem Satze und einem der vorhergehenden folgt dann, dass wenn man mit \(S,T\) und \(\varDelta\) die quadratische und cubische Invariante und die Discriminante der biquadratischen Function bezeichnet, die Bedingung dafür, dass die 4 Wurzelpunkte auf einem Kreise liegen, darin zu suchen ist, dass die Grösse \(\frac{T}{\surd \varDelta}\) reell sei, oder die Grösse \(\frac{27T^2}{S^3}\) reell sei und zwischen 0 und 1 nicht verschwinde.
Weiter zeigt der Verfasser, dass, wenn man auf einer Ebene die drei Wurzelpunkte der cubischen Form \(J\) als gegeben voraussetzt, man auch die 3 Wurzelpunkte der Evectante \(E\) und die 2 Wurzelpunkte der Hesse’schen Determinante \(H\) finden kann. Diese Constructionen geben auch Gelegenheit zu einer Anwendung der Methode der Dreiliniencoordinaten, wenn man das Wurzelpunktdreieck als Fundamentaldreieck nimmt. Bezeichnet man mit \(H_1,H_2\) die 2 Wurzelpunkte der Hesse’schen Determinanten, mit \(\zeta\) den Schawerpunkt der 3 Wurzelpunkte der cubischen Function \(J\), so kann diese Function (\(O_0=1\) der Einfachheit wegen) immer auf die Form \(J=\frac{(\zeta-H_1)(H_2-z)^3-(H_2-\zeta)(z-H_1)^3}{H_1-H_2}\) gebracht werden, während die Discriminante \(D\), die Hesse’sche Determinante \(H\) und Evactante \(E\) folgende Form annehmen: \[ \begin{aligned} & D=\{(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)(H_1-H_2)\}^2,\\ & H=-(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)(z-H_1)(z-H_2),\\ & E=(\zeta-H_1)(\zeta-H_2)\{(\zeta-H_1)(H_2-z)^3+(H_2-\zeta)(z-H_1)^3\}.\end{aligned} \] Aus dieser für \(J\) erhaltenen Form geht klar hervor, dass mittelst der Lösung der quadratischen Gleichung \(H=0\), die vollständige cubische Gleichung \(J=0\) zurückgeführt ist auf die binomische Form \(\left(\frac{z-H_1}{H_2-z}\right)^3=\frac{\zeta-H_1}{H_2-\zeta},\) während die Wurzeln der Evectante gegeben sind durch \(\left( \frac{z-H_1}{H_2-z}\right)^3=-\frac{\zeta-H_1}{H_2-\zeta}.\) Diese Methode der Ausflösung der cubischen Gleichung hängt genau mit der von Cayley zusammen. Die vorstehende Formel ist einer ziemlich einfachen geometrischen Interpretation fähig, welche den Verfasser zu einer speciellen cubischen Involution mit 2 dreifachen Punkten führt. Diese Involution ist durch die Gleichung \(J+\kappa E=0\) darstellbar und aus allen Ternen von Punkten zusammengesetzt, für welche das Hesse’sche Determinanten-Paar \((H_1,H_2)\) unveränderlich ist. Sie besitzt viele geometrische Eigenschaften, betreffs deren wir nur auf die Abhandlung selbst verweisen können.
