Es wird ein inhaltsreicher Bericht über die historische Entwicklung der Bemühungen der Mathematiker gegeben, zu den 5 Platonischen Körpern möglichst naheliegende Analoga aufzusuchen. Fußend auf Coxeters Beiträgen zum Konzept der geometrischen Regularität wird die Fahnentransitivität der Körper in den Mittelpunkt gestellt.
Eine Zellzerlegung einer reellen geschlossenen Fläche (2-Mannigfaltigkeit) im \(\mathbb{E}^3\) in Polygone (im topologischen Sinn) ist eine Karte \(M\); die Polygone sind die Seiten von \(M\), deren Ecken und Kanten stimmen ebenfalls mit denen der Polygone überein. Eine Fahne ist die Zusammenfassung einer Ecke, einer Kante und einer Seite von \(M\) bei paarweiser Inzidenz. Die Karte \(M\) wird als regulär angesehen, wenn ihre Automorphismengruppe fahnentransitiv ist.
Auf Felix Kleins Konstruktion regulärer Karten im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen über elliptische Funktionen wird eingegangen. Für die Kleinsche Karte \(\{3,7\}_ 8\) geben die beiden Autoren zwei polyedrische Modelle an (eines davon ohne, das andere mit Selbstdurchdringungen). Diese Realisierungen werden näher beschrieben und durch Zeichnungen veranschaulicht.
Wird unter einem Polyeder die Trägermenge von endlichvielen (konvexen) Polygonen im \(\mathbb{E}^3\) verstanden, die eine geschlossene 2-Mannigfaltigkeit bilden, so erhebt sich die Frage, welche regulären Karten Realisierungen als Polyeder im \(\mathbb{E}^3\) gestatten.
Die 4 Kepler-Poinsot-Polyeder sind reguläre Karten mit Selbstdurchdringungen. Sucht man polyedrische Realisierungen solcher Karten und stellt noch Symmetrieforderungen, so scheint es sinnvoll, nach Analoga zu den Kepler-Poinsot-Polyedern zu suchen, wofür das zweite Modell der Verff. ein Beispiel ist. Schließlich wird noch ein Fahnendiagramm vorgeführt, das einen guten Überblick über reguläre Polyeder gibt.