Davon ausgehend, dass Geometrie Invariantentheorie einer gegebenen Mannigfaltigkeit in Bezug auf eine in derselben gegebene Transformationsgruppe ist, und dass dann die verschiedenen Methoden der Geometrie sich nach der Art dieser gegebenen Transformationsgruppe und nach dem Umfange der Gebilde unterscheiden, auf die sie angewandt werden soll, gelangt der Verfasser zu dem imaginären Kugelkreise, der als festes Gebilde dient für den Uebergang aus der die Tranformationen der projectiven Geometrie zugrunde legenden neueren Geometrie zu der die Hauptgruppe benutzenden euklidischen Geometrie. Setzt man an die Stelle der Hauptgruppe irgend eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen, so erhält man die Grundlagen der verschiedenen geometrischen Richtungen. Und hier ist neben dem Uebergange von der elementaren Geometrie zur projectiven der erste Schritt derjenige von der elementaren Geometrie zur Geometrie der reciproken Radien, indem zu der Hauptgruppe noch eine Transformationsgruppe hinzugenommen wird, die als Gruppe der “Involution” zu bezeichnen ist, und durch die Zuordnung der Raumelemente constanten Abstandsproductes von einem gegebenen gleichartigen definirt wird. Von diesen auch für den \(n\)-dimensionalen Punktraum ausgesprochenen Gedanken gelangt der Verfasser zu dem von Felix Klein bewiesenen (Math. Ann. V.) Satze, dass die metrische Geometrie des \(R_{n-1}\) als stereographische Projection der Geometrie auf einer im \(R_{n}\) gelegenen \(U^2_{n-1}\) aufgefasst werden kann. Den Schlusstein der ersten Abhandlung bildet die Erkenntnis, dass die Transformation der reciproken Radien als Grundlage einer selbständigen Geometrie im Raume beliebig vieler Dimensionen gleichberechtigt in der Reihe der übrigen Methoden auftritt, obwohl bis jetzt nur die elementare und die projective in methodischem Zusammenhang dargestellt seien. In der zweiten Abhandlung bespricht daher der Verfasser die Transformation der reciproken Radien ausführlicher, indem er mit dem historisch frühesten und zugleich elementarsten Beispiel einer solchen Transformation, nämlich der von Euklid herrührenden Theorie der Antiparallelen anhebt. Zum Schluss werden auch die Anwendungen dieses Transformations-Princips in der mathematischen Physik kurz besprochen.