In dieser Schrift wird eine einheitliche Auffasung der neueren geometrischen Methoden auseinandergesetzt, zu der die Arbeiten des Herrn Verfassers und des Herrn Lie geführt haben. Die Geometrie ist ein besonderer Fall des allgemeinen Problemes: “Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformations-Gruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.” Besteht diese Gruppe aus allen linearen Transformationen, so fällt die Aufgabe zusammen mit der Entwickelung der auf die Mannigfaltigkeit bezüglichen Invariantentheorie in dem besonderen Sinne des Wortes. Dieser specielle Fall erläutert zugleich den Begriff der Gruppe von Transformationen: dieselben müssen die Eigenschaft haben, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder angehört. Betrachtet man nun in der gegebenen Mannigfaltigkeit ein Gebilde als fest, so kann die allgemeine Aufgabe in zweifacher Weise aufgefasst werden: Man kann entweder der Mannigfaltigkeit dieses Gebilde adjungiren und auf das so erweiterte System die Transformations-Gruppe anwenden; oder man lasse das System unerweitert, beschränke aber die Transformationen auf jene in der Gruppe enthaltenen, welche das gegebene Gebilde ungeändert lassen. Daraus folgt unmittelbar der Satz: “Ersetzt man die Gruppe durch eine umfassendere, so erscheinen die früheren unveränderlichen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit als eben solche des Systems, welches aus dem ursprünglichen hervorgeht durch Adjunction eines ausgezeichneten Gebildes, das dadurch definirt ist, dass es, als fest gedacht, der Mannigfaltigkeit unter der Gesammtheit der Transformationen nur noch die der ursprünglichen Gruppe gestattet.”
Auf diesem Satze beruht das Wesen der neueren Methoden und ihr Verhältniss zur elementaren. Sie sind eben dadurch charakterisirt, dass sie an Stelle der Haupt-Gruppe d. i. der Gesammtheit derjenigen Transformationen, welche im gewöhnlichen Sinne die gegebene Mannigfaltigkeit als geometrischen Gebilde unverändert lassen, eine erweiterte Gruppe von räumlichen Umformungen in Betracht ziehen. So ist in der projectivischen Geometrie die Gruppe aller projectivischen und reciproken Umformungen zu Grunde gelegt; Fundamental-Gebilde ist der unendlich ferne Kugelkreis. Unter demselben Gesichtspunkte gegenüber der elementaren Geometrie erscheint die Geometrie der reciproken Radien, in der als Fundamental-Gebilde das Unendlichferne zu betrachten ist, aufgefasst als einzelner Punkt. Ein weiteres Beispiel bietet Lie’s Kugelgeometrie dar. Ferner gehören hierher die Geometrie der rationalen Umformungen in Ebene und Raum; die Analysis situs, in der die Umformungen aus unendlich kleinen Verzerrungen bestehen; endlich die allgemeinen Punkttransformationen, angewandt auf die homogenen Differential-Ausdrücke und die partiellen Differentialgleichungen. Bei Discussion der letzteren tritt ausserdem die noch umfassendere Gruppe der Berührungstransformationen auf.
Im Vorstehenden ist versucht, im grossen Ganzen den Gang der an allgemeinen Gedanken und umfassenden Gesichtspunkten reichen Schrift anzugeben. Von diesen möge hier nur der Satz erwähnt sein: “Die Theorie der binären Formen complexer Verändlichen findet ihre Darstellung in der projectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche.”