Herr Glaisher (JFM 10.0112.03, JFM 10.0113.01) sucht die Wurzeln der Gleichung \[ \begin{vmatrix} \l \quad &\l \quad &\l \quad &\l \\ a_1-x &a_2 &\dots &a_n \\ a_2 &a_3-x &\dots &a_1 \\ \hdotsfor 4 \\ a_n &a_1 &\dots &a_n-x \end{vmatrix} =0, \] welche bekanntlich zugleich mit den \(a\) reell sind. Nach Betrachtung der Fälle \(n=3,4,5\) hält er für wahrscheinlich, dass dieselben – die unmittelbar ersichtlichen Wurzeln \[ x= a_1 \pm a_2 + a_3 \pm a_4 +\cdots \] abgerechnet – von der Form seien: \[ x^2 +(a_1 +a_2\omega +\cdots +a_{n-1}\omega^{n-1}) (a_1 +a_2\omega^{-1} +\cdots +a_{n-1}\omega^{-n+1}). \] wo \(\omega\) eine imaginäre Wurzel der Einheit bedeutet. Ferner wird die Determinante \[ \text{(1)} \quad \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &\dots &a_n \\ a_n &a_1 &\dots &a_{n-1} \\ \hdotsfor4 \\ a_2 &a_3 &\dots &a_1 \end{vmatrix} =(-1)^{\frac12 (n-1)(n-2)} \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &\dots &a_n \\ a_2 &a_3 &\dots &a_1 \\ \hdotsfor4 \\ a_n &a_1 &\dots &a_{n-1} \end{vmatrix} \] betrachtet und bemerkt, dass \(n\) schon von Olivier (Crelle J. II. p. 243) betrachtet Functionen einer, und die Appell’schen Functionen \(y_r\) (vergl. d. Jahrb. IX. p. 326) von \((n-1)\) Veränderlichen, für die \(a_1, a_2, \dots a_n\) gesetzt, dieselbe identisch \(=1\) machen. Die letzteren sind definirt durch das System der Gleichungen \[ y_1 +\omega y_2 +\cdots +\omega^{n-1}y_n =e^{\omega x_1 +\omega^2 x_2+\cdots +\omega^{n-1} x_{n-1}}, \] wo \(\omega\) alle Werthe der \(n^{\text{ten}}\) Wurzel aus \(+1\) anzunehmen hat, und analog den hyperbolischen Function, die daraus für \(n=2\) hervorgehen.
Herr Minozzi giebt die Entwickelung der Determinante (1) als Norm der ganzen Function \(a_1 +a_2x +\cdots +a_n x^{n-1}\), welche auch Referent (Clebsch Ann. XI. p. 46) ausgerechnet hat.