Upon a determinant. (Sopra un determinante.) (Italian) JFM 10.0113.02
Herr Glaisher (JFM 10.0112.03, JFM 10.0113.01) sucht die Wurzeln der Gleichung
\[
\begin{vmatrix} \l \quad &\l \quad &\l \quad &\l \\ a_1-x &a_2 &\dots &a_n \\ a_2 &a_3-x &\dots &a_1 \\ \hdotsfor 4 \\ a_n &a_1 &\dots &a_n-x \end{vmatrix} =0,
\]
welche bekanntlich zugleich mit den \(a\) reell sind. Nach Betrachtung der Fälle \(n=3,4,5\) hält er für wahrscheinlich, dass dieselben – die unmittelbar ersichtlichen Wurzeln
\[
x= a_1 \pm a_2 + a_3 \pm a_4 +\cdots
\]
abgerechnet – von der Form seien:
\[
x^2 +(a_1 +a_2\omega +\cdots +a_{n-1}\omega^{n-1}) (a_1 +a_2\omega^{-1} +\cdots +a_{n-1}\omega^{-n+1}).
\]
wo \(\omega\) eine imaginäre Wurzel der Einheit bedeutet. Ferner wird die Determinante
\[
\text{(1)} \quad \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &\dots &a_n \\ a_n &a_1 &\dots &a_{n-1} \\ \hdotsfor4 \\ a_2 &a_3 &\dots &a_1 \end{vmatrix} =(-1)^{\frac12 (n-1)(n-2)} \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &\dots &a_n \\ a_2 &a_3 &\dots &a_1 \\ \hdotsfor4 \\ a_n &a_1 &\dots &a_{n-1} \end{vmatrix}
\]
betrachtet und bemerkt, dass \(n\) schon von Olivier (Crelle J. II. p. 243) betrachtet Functionen einer, und die Appell’schen Functionen \(y_r\) (vergl. d. Jahrb. IX. p. 326) von \((n-1)\) Veränderlichen, für die \(a_1, a_2, \dots a_n\) gesetzt, dieselbe identisch \(=1\) machen. Die letzteren sind definirt durch das System der Gleichungen
\[
y_1 +\omega y_2 +\cdots +\omega^{n-1}y_n =e^{\omega x_1 +\omega^2 x_2+\cdots +\omega^{n-1} x_{n-1}},
\]
wo \(\omega\) alle Werthe der \(n^{\text{ten}}\) Wurzel aus \(+1\) anzunehmen hat, und analog den hyperbolischen Function, die daraus für \(n=2\) hervorgehen.
Herr Minozzi giebt die Entwickelung der Determinante (1) als Norm der ganzen Function \(a_1 +a_2x +\cdots +a_n x^{n-1}\), welche auch Referent (Clebsch Ann. XI. p. 46) ausgerechnet hat.
Herr Minozzi giebt die Entwickelung der Determinante (1) als Norm der ganzen Function \(a_1 +a_2x +\cdots +a_n x^{n-1}\), welche auch Referent (Clebsch Ann. XI. p. 46) ausgerechnet hat.
Reviewer: Stolz, Prof. (Innsbruck)
MSC:
15A15 | Determinants, permanents, traces, other special matrix functions |
12E12 | Equations in general fields |
15A18 | Eigenvalues, singular values, and eigenvectors |
12D05 | Polynomials in real and complex fields: factorization |
11R27 | Units and factorization |
33C65 | Appell, Horn and Lauricella functions |
15A06 | Linear equations (linear algebraic aspects) |
33B10 | Exponential and trigonometric functions |
26C10 | Real polynomials: location of zeros |