Le problème de Schottky consiste à donner des équations explicites de l’ensemble des jacobiennes \(\mathcal{J}_{g}\) des surfaces de Riemann de genre \(g\) dans l’espace des variétés abéliennes complexes principalement polarisées \(\mathcal{A}_{g}\). Malgré de nombreux travaux à la suite de Riemann puis à partir des années 1970, ce problème peut être considéré comme non résolu pour \(g\geq 5\).
Le problème de Schottky faible consiste à donner des équations explicites d’un ensemble de \(\mathcal{A}_{g}\), dont l’une des composantes irréductibles est \(\mathcal{J}_{g}\). Le théorème principal de cet article est une solution explicite au problème de Schottky faible.
Afin de pouvoir énoncer ce résultat plus en détails, rappelons que pour \(\varepsilon,\delta \in \mathbb{Z}^{g}\), la fonction thêta de caractéristique \(\left[\begin{smallmatrix}\varepsilon \\ \delta \end{smallmatrix}\right]\) est la fonction \[ \theta\left[\begin{smallmatrix}\varepsilon \\ \delta \end{smallmatrix}\right] (\tau,z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}^g}\exp\left(\pi i (n+\varepsilon/2)^{\top}\left(\tau (n+\varepsilon/2)+z+\delta\right)\right). \] La constante thêta est l’évaluation de la fonction thêta au point \(z=0\). De plus, les symboles \(\mathbf{0}\) et \(\mathbf{1}\) dénotent respectivement le uplet constitué d’un nombre approprié de \(0\) et \(1\). Enfin on note \(E:=\varepsilon_1+\ldots+\varepsilon_{g-4}\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). On obtient alors le résultat suivant.
Théorème: Pour tout \(g\ge 4\), on note \(S_{34}\) le polynôme de degré \(2^{3\cdot 2^{g-4}+1}\) en les constantes thêta de genre \(g\), évaluées sur une matrice de période \(\tau\): \[ \prod_{\substack{a_\varepsilon,b_\varepsilon,c_\varepsilon=\pm 1\\ a_{0,\ldots,0}=1}}\ \sum_{\varepsilon\in(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{g-4}} a_\varepsilon\left(\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 0 & 0&\varepsilon\\0 & 0 & 0 & 0&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 0 & 0&\varepsilon\\ 1 & 1 & 1 & 1&\mathbf{1}\end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 1 & 1&\varepsilon \\0 & 1 & 0 & 0&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 1 & 1&\varepsilon \\ 1 & 0 & 1 & 1&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right]\right.\cdot \] \[ \begin{aligned} &\left.\cdot\,\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 0 & 0&\varepsilon\\0 & 0 & 0 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 0 & 0&\varepsilon \\ 1 & 1 & 1 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 1 & 1&\varepsilon\\0 & 1 & 0 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 1 & 1&\varepsilon \\ 1 & 0 & 1 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right]\right)^{1/2}\\ +&b_\varepsilon\left(\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 0 & 1 & 0&\varepsilon\\0 & 0 & 0 & 0&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 0 & 1 & 0&\varepsilon\\ 1 & 1 & 1 & 1&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 0 & 0 & 1&\varepsilon\\ 0 & 1 & 0 & 0&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 0 & 0 & 1&\varepsilon\\ 1 & 0 & 1 & 1&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right]\right.\cdot\\ &\ \ \left.\cdot\,\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 1 & 1 & 0&\varepsilon\\ 0 & 0 & 0 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}E & 1 & 1 & 0&\varepsilon\𝟙 & 1 & 1 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}E & 1 & 0 & 1&\varepsilon\\0 & 1 & 0 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 1 & 0 &1&\varepsilon\\ 1 & 0 & 1 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \right)^{1/2}\\ +&c_\varepsilon\left(\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 0 & 0&\varepsilon\\0 & 0 & 1 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 0 & 0&\varepsilon\𝟙 & 1 & 0 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 1 & 1&\varepsilon\\0 & 1 & 1 & 1&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}E & 0 & 1 & 1&\varepsilon\\ 1 & 0 & 0 & 0&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right]\right.\cdot\\ &\ \ \left.\cdot\,\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 0 & 0&\varepsilon\\0 & 0 & 1 & 0&\mathbf{ 0} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 0 & 0&\varepsilon\\ 1 & 1 & 0 & 1&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right] \theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 1 & 1&\varepsilon\\ 0 & 1 & 1 & 0&\mathbf{0} \end{smallmatrix}\right]\theta\left[\begin{smallmatrix}1+E & 1 & 1 & 1&\varepsilon\\ 1 & 0 & 0 & 1&\mathbf{1} \end{smallmatrix}\right]\right)^{1/2}. \end{aligned} \] Pour tout \(3\leq j < k\leq g\) les polynômes \(S_{jk}\) sont obtenus à partir de \(S_{34}\) en permutant les colones \(3\) et \(j\), et les colonnes \(4\) et \(k\) des caractéristiques de toutes les constantes thêta de \(S_{34}\). Le système d’équations \(\{S_{jk} = 0\}_{3\leq j < k\leq g}\) donne une solution au problème de Schottky faible.
L’idée principale de la preuve est de développer les polynômes \(S_{jk}\) au voisinage des matrices périodes diagonales afin d’obtenir des relations de Poincaré et de montrer que ces équations sont fonctionnellement indépendantes.
En plus de ce nouveau résultat, cet article contient une introduction sur l’histoire du problème et des rappels très bien exposés. Cela en fait un texte de qualité pour découvrir ce problème.