On the number of solutions of \([p-1,q-1]\leq x\). (Über die Anzahl der Lösungen von \([p-1,q-1]\leq x\).) (German) Zbl 0067.02302
Der Verf. schätzt die Anzahl \(N\) der Lösungen von \([p-1,q-1] \leq x\) ab (wo \(p\) und \(q\) Primzahlen sind und \([a,b]\) das kleinste gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen \(a\) und \(b\) bezeichnet). Er beweist, daß \(N < cx (\log\log x)^3\) und bemerkt noch, daß sich dies zu \(N < cx\log\log x\) verschärfen läßt (\(c\) ist eine Konstante). In einem Zusatz bei der Korrektur verschärft er das Resultat sogar zu \(N < cx\).
Reviewer: H.D.Kloosterman
References:
| [1] | Dies ist ein Teil eines Briefes vonP. Erdös vom 9. Nov. 1954, dessen Veröffentlichung uns der Autor frèundlicherweise gestattet hat. Zu dem hier bewiesenen Resultat vergleiche man die Arbeit vonK. Prachar, diese Monatshefte59 (1955), 91 (Anm. d. Red.). |
| [2] | Siehe dazuV. Brun, Über das Goldbach’sche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare, Archiv for Math. og Naturvideskab, 34 (1915), No. 8 undE. C. Titchmarsh, A divisor problem, Rendiconti Palermo 54 (1930) 414. Mitc werden wie üblich positive Konstanten bezeichnet. |
| [3] | Zusatz bei der Korrektur: Durch noch etwas genauere Abschätzung läßt sich dies aufc 10 x verbessern. Man kann nämlich die im Falled<x 1/4 entstehende Summe \(s = \mathop \Sigma \limits_{p \leqq x} \frac{{A_p }}{p},A_p = \mathop \Sigma \limits_{d|p - 1} \frac{d}{{\varphi (d)}}\) abschätzen, indem man zuerst \(\mathop \Sigma \limits_{p \leqq x} A_p = 0(x)\) zeigt (nach dem Vorbild vonTitchmarsh, loc. cit. A divisor problem, Rendiconti Palermo 54 (1930) 414) und dann durch partielle SummationS=0(logx) findet. (Mitteilung vonP. Erdös vom 7. September 1955). |
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