Die erste Arbeit skizziert den in der zweiten ausgeführten Beweis des Waring-Hilbertschen Satzes [D. Hilbert, Math. Ann. 67, 281–300 (1909; JFM 40.0236.03)] und des viel weitergehenden neuen Satzes: Zu jedem \(k > 2\) gibt es ein \(s_0(k),\) so daßfür jedes \(s\geq s_0,\) \[ f(x) = 1 + 2\sum_{h=1}^\infty x^{h^k},\;(f(x))^s = \sum_{n=0}^\infty r(n) x^n (r(n) = r_{k,s}(n)) \] gesetzt, \[ 0 < \lim_{\overline{n =\infty}} \frac{r(n)}{n^{ \frac sk-1}} \leq \overline{\lim_{n =\infty}} \frac{r(n)}{n^{ \frac sk-1}} <\infty \] ist (d. h. \(r(n)\) genau von der Größenordnung \(n^{ \frac sk -1}\)). Noch schärfer: \[ r(n) = \frac { \left( 2\Gamma \left(1 + \frac 1k\right)\right)^s }{ \Gamma \left( \frac sk\right) } Sn^{ \frac sk-1} +o\left( n^{ \frac sk-1}\right), \] wo die “singuläre Reihe” \[ S =\sum_{p,q}\left( \frac{S_{p,q}}q\right)^s e^{- \frac{2\pi inp}{q}}, \;S_{p,q} =\sum_{h =1}^q e^{ \frac{2\pi ip}{q}h^k}, \] über \(0\leq p < q, (p, q) = 1\) erstreckt, bei jedem \(\delta > 0\) für \(s\geqq s_1(k, \delta)\) absolut konvergiert und zwischen \(1- \delta \) und \(1+ \delta\) liegt.
Eine ausführlichere Analyse des Beweisganges gab Ref. in einem Vortrag auf der Jenaer Mathematikerversammlung 1921, der in Deutsche Math.-Ver. erscheinen wird. Hier sei nur erwähnt: Die Verf. gehen von \[ r(n) = \frac {1}{2\pi i} \int \frac{(f(x))^s}{x^{n +1}}\,dx\qquad \left(n\geq 2,\;x =\left(1- \tfrac 1n\right) e^{\psi i},\;0\leq \psi\leqq 2\pi\right) \] aus, zerschneiden den Weg unter Benutzung einer Fareyreihe in endlich viele Teilbogen und schätzen \(f(x)\) auf ihnen unter Benutzung Weylscher Gedanken ab [H. Weyl, Gött. Nachr. 1914, 234–244 (1914; JFM 45.0325.01)].
Die neue Methode markiert eine neue Epoche in der analytischen Zahlentheorie und stellt die Verf. in die Reihe der größten Arithmetiker aller Zeiten.