Some problems of ”Partitio Numerorum”. I: A new solution of Waring’s problem. (English) JFM 47.0114.02
Die erste Arbeit skizziert den in der zweiten ausgeführten Beweis des Waring-Hilbertschen Satzes [D. Hilbert, Math. Ann. 67, 281–300 (1909; JFM 40.0236.03)] und des viel weitergehenden neuen Satzes: Zu jedem \(k > 2\) gibt es ein \(s_0(k),\) so daßfür jedes \(s\geq s_0,\)
\[
f(x) = 1 + 2\sum_{h=1}^\infty x^{h^k},\;(f(x))^s = \sum_{n=0}^\infty r(n) x^n (r(n) = r_{k,s}(n))
\]
gesetzt,
\[
0 < \lim_{\overline{n =\infty}} \frac{r(n)}{n^{ \frac sk-1}} \leq \overline{\lim_{n =\infty}} \frac{r(n)}{n^{ \frac sk-1}} <\infty
\]
ist (d. h. \(r(n)\) genau von der Größenordnung \(n^{ \frac sk -1}\)). Noch schärfer:
\[
r(n) = \frac { \left( 2\Gamma \left(1 + \frac 1k\right)\right)^s }{ \Gamma \left( \frac sk\right) } Sn^{ \frac sk-1} +o\left( n^{ \frac sk-1}\right),
\]
wo die “singuläre Reihe”
\[
S =\sum_{p,q}\left( \frac{S_{p,q}}q\right)^s e^{- \frac{2\pi inp}{q}}, \;S_{p,q} =\sum_{h =1}^q e^{ \frac{2\pi ip}{q}h^k},
\]
über \(0\leq p < q, (p, q) = 1\) erstreckt, bei jedem \(\delta > 0\) für \(s\geqq s_1(k, \delta)\) absolut konvergiert und zwischen \(1- \delta \) und \(1+ \delta\) liegt.
Eine ausführlichere Analyse des Beweisganges gab Ref. in einem Vortrag auf der Jenaer Mathematikerversammlung 1921, der in Deutsche Math.-Ver. erscheinen wird. Hier sei nur erwähnt: Die Verf. gehen von \[ r(n) = \frac {1}{2\pi i} \int \frac{(f(x))^s}{x^{n +1}}\,dx\qquad \left(n\geq 2,\;x =\left(1- \tfrac 1n\right) e^{\psi i},\;0\leq \psi\leqq 2\pi\right) \] aus, zerschneiden den Weg unter Benutzung einer Fareyreihe in endlich viele Teilbogen und schätzen \(f(x)\) auf ihnen unter Benutzung Weylscher Gedanken ab [H. Weyl, Gött. Nachr. 1914, 234–244 (1914; JFM 45.0325.01)].
Die neue Methode markiert eine neue Epoche in der analytischen Zahlentheorie und stellt die Verf. in die Reihe der größten Arithmetiker aller Zeiten.
Eine ausführlichere Analyse des Beweisganges gab Ref. in einem Vortrag auf der Jenaer Mathematikerversammlung 1921, der in Deutsche Math.-Ver. erscheinen wird. Hier sei nur erwähnt: Die Verf. gehen von \[ r(n) = \frac {1}{2\pi i} \int \frac{(f(x))^s}{x^{n +1}}\,dx\qquad \left(n\geq 2,\;x =\left(1- \tfrac 1n\right) e^{\psi i},\;0\leq \psi\leqq 2\pi\right) \] aus, zerschneiden den Weg unter Benutzung einer Fareyreihe in endlich viele Teilbogen und schätzen \(f(x)\) auf ihnen unter Benutzung Weylscher Gedanken ab [H. Weyl, Gött. Nachr. 1914, 234–244 (1914; JFM 45.0325.01)].
Die neue Methode markiert eine neue Epoche in der analytischen Zahlentheorie und stellt die Verf. in die Reihe der größten Arithmetiker aller Zeiten.
Reviewer: Landau, Prof. (Göttingen)