Diese Arbeit knüpft an zwei andere desselben Verfassers an: “Sulle superficie di ordine \(n\) immerse nello spazio di \(n+1\) dimensioni” (F. d. M. XVII. 1885. 514, JFM 17.0514.01) und “Sugli spazii tangenti ad una surperficie o ad una varietà immersa in uno spazio di più dimensioni” (S. den vorangehenden Bericht (JFM 18.0450.01)); ihr Ziel ist die Erforschung der Projectionen der Mannigfaltigkeiten linearer Räume. Sie besteht aus drei Paragraphen; in den beiden ersten ergründet der Verfasser die Projectionen der Oberflächen und wendet seine Ergebnisse auf den Beweis einiger wichtiger Sätze an; im dritten verallgemeinert er diese Betrachtungen auf die Mannigfaltigkeiten einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. Wir wollen die Hauptsätze der Abhandlung des Herrn Del Pezzo auszugsweise hersetzen, doch dürfen wir die Bemerkung nicht unterdrücken, dass manche Schlussfolgerungen des Verfassers nicht völlig einwurfsfrei sind, und dass in seiner Darstellung die Form zuweilen ungemein vernachlässigt ist.
Eine zweidehnige Oberfläche \(F_2^m\) von der Ordnung \(m\) des Raumes von \(n\) Dimensionen \(S_n\) wird projicirt aus \(h_1\) ihrer Punkte \(P_1, h_2\) ihrer zweifach berührenden \(S_2, h_3\) ihrer dreifach berührenden \(S_5, \dots, h_r\) ihrer \(r\)-fach berüherenden \(S_{\frac 1 2 (r-1)(r+2)}\) auf einen Raum von \(n-\sum_{i=1}^{i=r} \frac 1 2 i(i+1)h_i\) in eine Oberfläche von \(n-\sum_{i=1}^{i=r}r^2 h_r\), welche \(h_1\) Gerade, \(h_2\) Kegelschnitte, \(h_3\) kubische Raumcurven, \(\dots, h_r\) rationale Curven der Ordnung \(r\) enthält, welche die Bilder der Punkte \(P\) und der Berührungspunkte der zweifach berührenden \(S_2\), der dreifach berührenden \(S_5, \dots\), der \(r\)-fach berührenden \(S_{\frac 1 2 (r-1)(r+2)}\) vorstellen. Macht man insbesondere die Projection auf unseren Raum, so kann man aus den bekannten Eigenschaften der Oberflächen Sätze über die Oberflächen von \(S_n\) erschliessen. Beispielweise ergeben die Kenntnisse hinsichtlich der Geometrie auf gewissen Oberflächen unseres Raumes uns Einblick in die Geometrie auf einer Oberfläche von \(S_n\). Merkwürdig ist es, dass, wenn die Projection von \(F_2^m\) auf unseren Raum geradlinig ist, \(F_2^m\) es auch ist. Ferner ist es merkwürdig, dass, wenn \(m\) über einer gewissen Grenze liegt, die \(F_2^m\) von \(S_{m-p+1}\) alle geradlinig sind; dasselbe tritt für die \(F_2^m\) von \(S_n\) ein, wenn bei constant gehaltenem \(n\) die Zahl \(m\) unter einer gewissen Grenze liegt, oder wenn bei constantem \(m\) die Zahl \(n\) oberhalb einer gewissen Grenze liegt.
Diese Sätze lassen sich verallgemeinern. Indem wir wegen des Theorems, welches die Beziehung zwischen einer Mannigfaltigkeit der Ordnung \(m\) von \(i\) Dimensionen \(F_i^m\) aus \(S_n\) und einer ihrer Projectionen herstellt (eine Erweiterung des Theorems über die \(F_2^m\), das wir eben angeführt haben), den Leser auf die Abhandlung selbst verweisen, wollen wir die folgenden Sätze wiedergeben, deren Analoga für die \(F_2^m\) schon angeführt sind. Wird eine Mannigfaltigkeit \(F_i^m\) aus \(S_n\) auf einen \(S_{i+1}\) in eine aus \(\infty^1 S_{i-1}\) bestehende Mannigfaltigkeit projicirt, so setzt sie sich auch aus \(\infty^1 S_{i-1}\) zusammen. Ist \(m+i-n\) constant und liegen \(m,n\) über gewissen Grenzen, oder auch ist \(n\) constant und liegt \(m\) unter einer gewissen Grenze, oder endlich ist \(m\) constant und liegt \(n\) über einer gewissen Grenze, so bestehen alle \(F_i^m\) von \(S_n\) aus \(\infty^1 S_{i-1}\). Beispielsweise bestehen die \(F_{i+1}^m\) von \(S_{m+i}\) aus \(\infty^1 S_{i}\) mit Ausnahmen der Kegel, welche die Oberfläche \(F_2^4\) des Herrn Veronese aus einem \(S_{i-2}\) projiciren.
Zum Schlusse geben wir den Wortlaut des folgenden Theorems, für welches der Verfasser einen einfachen analytischen Beweis beibringt: Wenn eine Mannigfaltigkeit \(F_{n-1}^m\) des Raumes \(S_n\) einen \(S_{n-h}\) enthält, so begr3ift sie eine doppelte Mannigfaltigkeit \(F_{n-2h}^{[(m-1)^h]}\) in sich.