The Harnack inequality and related properties for solutions of elliptic and parabolic equations with divergence-free lower-order coefficients. (English. Russian original) Zbl 1235.35054
St. Petersbg. Math. J. 23, No. 1, 93-115 (2012); translation from Algebra Anal. 23, No. 1, 131-168 (2011).
This paper is devoted to the question of how “bad” the lower order coefficients of elliptic and parabolic equations may be so that the classical properties of their solutions (such as the strict maximum principle, the Harnack inequality and the Liouville theorem) still occur. The answers are given in terms of the Lebesgue and Morrey spaces. The authors apply the techniques introduced by E. De Giorgi [Mem. Accad. Sci. Torino, P. I., III. Ser. 3, 25–43 (1957; Zbl 0084.31901)], O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov and the last author [Lineĭnye i kvazilineĭnye uravneniya parabolicheskogo tipa (Russian). Moskva: Izdat. Nauka (1967; Zbl 0164.12302)] and M. V. Safonov [in: Nonlinear partial differential equations and related topics. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). Translations. Series 2. American Mathematical Society 229; Advances in the Mathematical Sciences 64, 211–232 (2010; Zbl 1208.35028)] to prove their results. In the last section the authors show an application of their results to some equations arising in hydrodynamics.
Reviewer: Vincenzo Vespri (Firenze)
MSC:
| 35B45 | A priori estimates in context of PDEs |
| 35B50 | Maximum principles in context of PDEs |
| 35B53 | Liouville theorems and Phragmén-Lindelöf theorems in context of PDEs |
| 35B65 | Smoothness and regularity of solutions to PDEs |
Keywords:
Harnack inequality; Hölder estimates; maximum principle; Liouville theorem; Lebesgue space; Morrey spaceReferences:
| [1] | Ennio De Giorgi, Sulla differenziabilità e l’analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3) 3 (1957), 25 – 43 (Italian). · Zbl 0084.31901 |
| [2] | Charles B. Morrey Jr., Second order elliptic equations in several variables and Hölder continuity, Math. Z 72 (1959/1960), 146 – 164. · Zbl 0094.07802 · doi:10.1007/BF01162944 |
| [3] | John Nash, Parabolic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 43 (1957), 754 – 758. · Zbl 0078.08704 |
| [4] | O. A. Ladyženskaja and N. N. Ural\(^{\prime}\)ceva, A boundary-value problem for linear and quasi-linear parabolic equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR 139 (1961), 544 – 547 (Russian). |
| [5] | Jürgen Moser, On Harnack’s theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 577 – 591. · Zbl 0111.09302 · doi:10.1002/cpa.3160140329 |
| [6] | Jürgen Moser, A Harnack inequality for parabolic differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 101 – 134. , https://doi.org/10.1002/cpa.3160170106 Jürgen Moser, Correction to: ”A Harnack inequality for parabolic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math. 20 (1967), 231 – 236. · Zbl 0149.07001 · doi:10.1002/cpa.3160200107 |
| [7] | A. I. Nazarov and N. N. Ural’tseva, Qualitative properties of solutions to elliptic and parabolic equations with unbounded lower-order coefficients, SPbMS El. Prepr. Archive. N 2009-05, 6 p. · Zbl 1235.35054 |
| [8] | Qi S. Zhang, A strong regularity result for parabolic equations, Comm. Math. Phys. 244 (2004), no. 2, 245 – 260. · Zbl 1061.35026 · doi:10.1007/s00220-003-0974-6 |
| [9] | Gabriel Koch, Nikolai Nadirashvili, Gregory A. Seregin, and Vladimir Šverák, Liouville theorems for the Navier-Stokes equations and applications, Acta Math. 203 (2009), no. 1, 83 – 105. · Zbl 1208.35104 · doi:10.1007/s11511-009-0039-6 |
| [10] | Chiun-Chuan Chen, Robert M. Strain, Horng-Tzer Yau, and Tai-Peng Tsai, Lower bound on the blow-up rate of the axisymmetric Navier-Stokes equations, Int. Math. Res. Not. IMRN 9 (2008), Art. ID rnn016, 31. , https://doi.org/10.1093/imrn/rnn016 Chiun-Chuan Chen, Robert M. Strain, Tai-Peng Tsai, and Horng-Tzer Yau, Lower bounds on the blow-up rate of the axisymmetric Navier-Stokes equations. II, Comm. Partial Differential Equations 34 (2009), no. 1-3, 203 – 232. · Zbl 1173.35095 · doi:10.1080/03605300902793956 |
| [11] | G. Seregin, L. Silvestre, V. Šverák, and A. Zlatos, On divergence-free drifts, Preprint arXiv:1010.6025v1. · Zbl 1232.35027 |
| [12] | Neil S. Trudinger, Linear elliptic operators with measurable coefficients, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 27 (1973), 265 – 308. · Zbl 0279.35025 |
| [13] | Gary M. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. · Zbl 0884.35001 |
| [14] | Линейные и квазилинейные уравнения ѐллиптического типа., Издат. ”Наука”, Мосцощ, 1973 (Руссиан). Сецонд едитион, ревисед. Олга А. Ладыженская анд Нина Н. Урал’цева, Линеар анд чуасилинеар еллиптиц ечуатионс, Транслатед фром тхе Руссиан бы Сцрипта Течница, Инц. Транслатион едитор: Леон Ехренпреис, Ацадемиц Пресс, Нещ Ыорк-Лондон, 1968. |
| [15] | Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Издат. ”Наука”, Мосцощ, 1967 (Руссиан). О. А. Ладыžенскаја, В. А. Солонников, анд Н. Н. Урал\(^{\приме}\)цева, Линеар анд чуасилинеар ечуатионс оф параболиц тыпе, Транслатед фром тхе Руссиан бы С. Смитх. Транслатионс оф Матхематицал Монограпхс, Вол. 23, Америцан Матхематицал Социеты, Провиденце, Р.И., 1968 (Руссиан). О. А. Ладыžенскаја, В. А. Солонников, анд Н. Н. Урал\(^{\приме}\)цева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Издат. ”Наука”, Мосцощ, 1967 (Руссиан). О. А. Ладыžенскаја, В. А. Солонников, анд Н. Н. Урал\(^{\приме}\)цева, Линеар анд чуасилинеар ечуатионс оф параболиц тыпе, Транслатед фром тхе Руссиан бы С. Смитх. Транслатионс оф Матхематицал Монограпхс, Вол. 23, Америцан Матхематицал Социеты, Провиденце, Р.И., 1968 (Руссиан). |
| [16] | Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, vol. 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. · Zbl 0873.26002 |
| [17] | Mikhail V. Safonov, Mean value theorems and Harnack inequalities for second-order parabolic equations, Nonlinear problems in mathematical physics and related topics, II, Int. Math. Ser. (N. Y.), vol. 2, Kluwer/Plenum, New York, 2002, pp. 329 – 352. · Zbl 1029.35048 · doi:10.1007/978-1-4615-0701-7_18 |
| [18] | V. G. Maz\(^{\prime}\)ya and I. E. Verbitsky, Form boundedness of the general second-order differential operator, Comm. Pure Appl. Math. 59 (2006), no. 9, 1286 – 1329. · Zbl 1169.35014 · doi:10.1002/cpa.20122 |
| [19] | Giovanni Maria Troianiello, Elliptic differential equations and obstacle problems, The University Series in Mathematics, Plenum Press, New York, 1987. · Zbl 0655.35002 |
| [20] | Интеграл\(^{\приме}\)ные представления функций и теоремы вложения, 2нд ед., Физматлит ”Наука”, Мосцощ, 1996 (Руссиан, щитх Руссиан суммары). Олег В. Бесов, Валентин П. Ил\(^{\приме}\)ин, анд Сергеы М. Никол\(^{\приме}\)ский, Интеграл репресентатионс оф фунцтионс анд имбеддинг тхеоремс. Вол. И, В. Х. Щинстон & Сонс, Щашингтон, Д.Ц.; Халстед Пресс [Јохн Щилеы & Сонс], Нещ Ыорк-Торонто, Онт.-Лондон, 1978. Транслатед фром тхе Руссиан; Сцрипта Сериес ин Матхематицс; Едитед бы Митчелл Х. Таиблесон. Олег В. Бесов, Валентин П. Ил\(^{\приме}\)ин, анд Сергеы М. Никол\(^{\приме}\)ский, Интеграл репресентатионс оф фунцтионс анд имбеддинг тхеоремс. Вол. ИИ, В. Х. Щинстон & Сонс, Щашингтон, Д.Ц.; Халстед Пресс [Јохн Щилеы & Сонс], Нещ Ыорк-Торонто, Онт.-Лондон, 1979. Сцрипта Сериес ин Матхематицс; Едитед бы Митчелл Х. Таиблесон. Олег В. Бесов, Валентин П. Ил\(^{\приме}\)ин, анд Сергеы М. Никол\(^{\приме}\)ский, Интеграл репресентатионс оф фунцтионс анд имбеддинг тхеоремс. Вол. И, В. Х. Щинстон & Сонс, Щашингтон, Д.Ц.; Халстед Пресс [Јохн Щилеы & Сонс], Нещ Ыорк-Торонто, Онт.-Лондон, 1978. Транслатед фром тхе Руссиан; Сцрипта Сериес ин Матхематицс; Едитед бы Митчелл Х. Таиблесон. Олег В. Бесов, Валентин П. Ил\(^{\приме}\)ин, анд Сергеы М. Никол\(^{\приме}\)ский, Интеграл репресентатионс оф фунцтионс анд имбеддинг тхеоремс. Вол. ИИ, В. Х. Щинстон & Сонс, Щашингтон, Д.Ц.; Халстед Пресс [Јохн Щилеы & Сонс], Нещ Ыорк-Торонто, Онт.-Лондон, 1979. Сцрипта Сериес ин Матхематицс; Едитед бы Митчелл Х. Таиблесон. |
| [21] | M. V. Safonov, Non-divergence elliptic equations of second order with unbounded drift, Nonlinear partial differential equations and related topics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 229, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, pp. 211 – 232. · Zbl 1208.35028 · doi:10.1090/trans2/229/13 |
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.
