The semiclassical limit of eigenfunctions of the Schrödinger equation and the Bohr-Sommerfeld quantization condition, revisited. (English. Russian original) Zbl 1248.47015
St. Petersbg. Math. J. 22, No. 6, 1051-1067 (2011) and Algebra Anal. 22, No. 6, 270-291 (2010).
This paper deals with the semiclassical limit as \( \hbar \rightarrow 0\) of eigenfunctions \(\psi (x) = \psi (x; \lambda, \hbar)\) of the Schrödinger equation \(-\hbar \psi ''(x)+v(x)\psi(x)=\lambda \psi(x)\). Particularly, a specific formulation is established to describe the detailed asymptotic behavior of \(\psi(x)\), from which the Bohr-Sommerfeld quantization condition on \(\lambda\) is recovered.
Reviewer: Miyeon Kwon (Platteville)
MSC:
| 47A40 | Scattering theory of linear operators |
| 81U05 | \(2\)-body potential quantum scattering theory |
Keywords:
Schrödinger equation; potential well; airy functions; Green-Liouville approximation; Bohr-Sommerfeld quantization condition; semiclassical Weyl formulaReferences:
| [1] | Асимптотические методы в ��адачах дифракции коротких волн. Том л., Издат. ”Наука”, Мосцощ, 1972 (Руссиан). Метод ѐталонных задач. [Тхе метход оф цаноницал проблемс]; Щитх тхе цоллаборатион оф М. М. Попов анд И. А. Молотков. В. М. Бабиč анд В. С. Булдырев, Шорт-щавеленгтх диффрацтион тхеоры, Спрингер Сериес он Щаве Пхеномена, вол. 4, Спрингер-Верлаг, Берлин, 1991. Асымптотиц метходс; Транслатед фром тхе 1972 Руссиан оригинал бы Е. Ф. Куестер. |
| [2] | Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциал\(^{\приме}\)ных уравнений, Справочная Математическая Библиотека. [Матхематицал Референце Либрары], ”Наука”, Мосцощ, 1983 (Руссиан). |
| [3] | Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики., Издат. ”Наука”, Мосцощ, 1976 (Руссиан). В. П. Маслов анд М. В. Федориук, Семицлассицал аппрошиматион ин чуантум мечаницс, Матхематицал Пхысицс анд Апплиед Матхематицс, вол. 7, Д. Реидел Публишинг Цо., Дордречт-Бостон, Масс., 1981. Транслатед фром тхе Руссиан бы Ј. Ниедерле анд Ј. Толар; Цонтемпорары Матхематицс, 5. |
| [4] | B. Helffer, A. Martinez, and D. Robert, Ergodicité et limite semi-classique, Comm. Math. Phys. 109 (1987), no. 2, 313 – 326 (French, with English summary). · Zbl 0624.58039 |
| [5] | B. Helffer and D. Robert, Puits de potentiel généralisés et asymptotique semi-classique, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 41 (1984), no. 3, 291 – 331 (French, with English summary). · Zbl 0565.35082 |
| [6] | Механика, Тхеоретицал Пхысицс, Вол. И, Государств. Издат. Физ.-Мат. Лит., Мосцощ, 1958 (Руссиан). Л. Д. Ландау анд Е. М. Лифшитз, Цоурсе оф тхеоретицал пхысицс. Вол. 1, 3рд ед., Пергамон Пресс, Ошфорд-Нещ Ыорк-Торонто, Онт., 1976. Мечаницс; Транслатед фром тхе Руссиан бы Ј. Б. Скыес анд#Ј. С. Белл. |
| [7] | F. W. J. Olver, Asymptotics and special functions, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1974. Computer Science and Applied Mathematics. · Zbl 0303.41035 |
| [8] | Barry Simon, Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. II. Tunneling, Ann. of Math. (2) 120 (1984), no. 1, 89 – 118. , https://doi.org/10.2307/2007072 Barry Simon, Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. III. Width of the ground state band in strongly coupled solids, Ann. Physics 158 (1984), no. 2, 415 – 420. , https://doi.org/10.1016/0003-4916(84)90125-8 Barry Simon, Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. IV. The flea on the elephant, J. Funct. Anal. 63 (1985), no. 1, 123 – 136. · Zbl 0652.35090 · doi:10.1016/0022-1236(85)90101-6 |
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.
