Soit \(f\) un germe de fonction analytique réduit au voisinage de 0 dans \(\mathbb{C}^ 2\). On peut d’après J. Milnor [Singular points of complex hypersurfaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press (1968; Zbl 0184.48405)] étudier la singularité en 0 de \(X=f^{-1}(0)\) à partir de la classe d’isotopie de \(K_ \varepsilon=X\cap S_ \varepsilon\) \((S_ \varepsilon\) est la sphère de centre 0 et de rayon \(\varepsilon\) assez petit). A son tour l’étude de \(K_ \varepsilon\) peut se faire par celle du complémentaire \(M_ \varepsilon\) d’un petit voisinage tubulaire de \(K_ \varepsilon\) dans \(S_ \varepsilon\) qui est une variété à bord.
La première partie de l’article rappelle comment, à partir d’une résolution de la singularité de \(X\), on peut construire une décomposition de \(M_ \varepsilon:M_ \varepsilon=\cup V_ i\) où les \(V_ i\) sont des variétés (de Siefert) fibrées en cercles telles que \(V_ i\cap V_ j\) \((i\neq j)\) soit une réunion finie (éventuellement vide) de tores deux à deux disjoints. Une telle décomposition vérifiant des hypothèses raisonnables de minimalité (décomposition de Waldhausen) est unique à isotopie près et fournit donc un invariant topologique de \(X\). En particulier elle donne une famille \({\mathcal P}_{top}\) de rationnels obtenue en associant à chaque \(V_ i\) le quotient \({\mathcal L}(\rho_ j,K)/b(\rho_ j)\) où \(\rho_ j\) est une fibre régulière de \(V_ i\), \({\mathcal L}(\rho_ j,K)\) est le coefficient d’enlacement de \(\rho_ j\) et de \(K\) et \(b(\rho_ j)\) est le “braid index” de \(\rho_ j\).
La deuxième partie fournit une autre méthode pour obtenir cette décomposition à partir des courbes polaires de \(X\). Plus précisément, si la droite \(x=0\) n’est pas dans le cone tangent à \(f\) on pose \(\varphi(x,y)=(x,f(x,y))\) et on construit une paire \((\Sigma,M_ B)\) difféomorphe à \((S_ \varepsilon, M_ \varepsilon)\) telle que \(\varphi\) induise un revêtement ramifié de \(M_ B\) sur un tore plein \(N=D_ \theta^ 2\times S^ 1_ \eta\). On note alors \(\Gamma\) la courbe polaire de \(X\) associée à \(x=0\) définie par \(\det\varphi'=0\). A chaque composante irréductible \(\gamma\) de \(\Gamma\) on associe le “quotient polaire” \(q(\gamma)=m_ 0(f\cap\gamma)/m_ 0(\gamma)\) \((m_ 0\) désigne la multiplicité en 0). A l’aide de ces \(q(\gamma)\) on détermine une décomposition de \(N\) en \(Z_ i\) (\(Z_ 1\) tore plain, \(Z_ i\) tore épaissi pour \(i\geq 2)\) et l’on prouve que les \(\varphi^{-1}(Z_ i)\cap B_ \varepsilon\) donnent une décomposition de \(M_ B\) en variétés de Siefert. De cette décomposition on tire alors la décomposition minimale de Waldhausen.
De cette étude il ressort que l’ensemble \({\mathcal P}\) des quotients polaires coïncide avec \({\mathcal P}_{top}\) sauf dans le cas où le cone tangent à \(f\) est formé de 2 droites distinctes; dans ce dernier cas on a \({\mathcal P}={\mathcal P}_{top}\cup\{m_ 0(f)\}\).
Enfin cette méthode fournit une description de la monodromie quasi finie de la fibration de \(M_ B\) sur \(S^ 1_ \eta\) induite par \(f\) (qui est isomorphe à la fibration de \(M_ \varepsilon\) sur \(S^ 1\) induite par \(f/| f|)\).