Sei K ein endlich algebraischer Zahlkörper. Eine endliche Gruppe G heißt K-zulässig, wenn es eine zentrale Divisionsalgebra D über K gibt, die verschränktes Produkt für G ist, die also einen über \({\mathbb{Q}}\) galoisschen maximalen kommutativen Teilkörper mit zu G isomorpher Galoisgruppe besitzt.
Es stellt sich die Frage: Ist K durch die Gesamtheit aller K-zulässigen endlichen Gruppen bis auf \({\mathbb{Q}}\)-Isomorphie eindeutig bestimmt ? Im galoisschen Fall trifft dies tatsächlich zu, und allgemeiner beweist der Autor folgendes Theorem: Die Gesamtheit aller K-zulässigen endlichen Gruppen legt die galoissche Hülle und den Grad von K/\({\mathbb{Q}}\) eindeutig fest.
Der Beweis ist arithmetischer Natur und benutzt das folgende arithmetische Zulässigkeitskriterium von M. Schacher: Die endliche Gruppe G ist genau dann K-zulässig, wenn es eine Galoiserweiterung F/K mit zu G isomorpher Galoisgruppe gibt derart, daß jede in der Gruppenordnung aufgehende Primzahl p mindestens zwei Primteiler in K besitzt, deren (bis auf Konjugation definierte) Zerlegungsgruppen für F/K eine p-Sylowuntergruppe von G enthalten.
Noch offen und sicherlich interessant ist die vom Autor gestellt Frage: Welche Informationen liefert die Gesamtheit der K-zulässigen endlichen Gruppen über die Dedekindsche Zetafunktion von K, und umgekehrt ?