Luigi Gatteschi’s work on asymptotics of special functions and their zeros. (English) Zbl 1170.26007
In the present article, L. Gatteschi’s work on asymptotics of special functions (Jacobi, Laguerre, Hermite polynomials; Bessel functions of the first and second kind; Airy functions; confluent hypergeometric functions etc.) and their zeros is reviewed “along methodological lines”. Many papers of L. Gatteschi (1923–2007) appeared in Italian journals and are sometimes difficult to obtain, so that the work of the present authors is beneficial in many ways.
Major tools appearing in Gatteschi’s work are the quantitative use of a method of Tricomi for deriving the asymptotics of zeros of functions from the asymptotics of the functions themselves (with explicit error bounds), Van der Corput’s theory of “enveloping series”, methods based on linear second-order differential equations and uniform expansions. The survey puts Gatteschi’s work very well in the historical context of the development of the field of asymptotics of special functions, it highlights Gatteschi’s major results and ends with an extensive bibliographic list.
Major tools appearing in Gatteschi’s work are the quantitative use of a method of Tricomi for deriving the asymptotics of zeros of functions from the asymptotics of the functions themselves (with explicit error bounds), Van der Corput’s theory of “enveloping series”, methods based on linear second-order differential equations and uniform expansions. The survey puts Gatteschi’s work very well in the historical context of the development of the field of asymptotics of special functions, it highlights Gatteschi’s major results and ends with an extensive bibliographic list.
Reviewer: Thomas Stoll (Waterloo)
MSC:
| 26C10 | Real polynomials: location of zeros |
| 30C15 | Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral) |
| 33C10 | Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\) |
| 33C15 | Confluent hypergeometric functions, Whittaker functions, \({}_1F_1\) |
| 33C45 | Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.) |
| 41A60 | Asymptotic approximations, asymptotic expansions (steepest descent, etc.) |
Software:
BIJReferences:
| [1] | Baratella, P.: Bounds for the error term in Hilb fromula for Jacobi polynomials. Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 120(5–6), 207–223 (1986/1987) · Zbl 0794.33001 |
| [2] | Baratella, P., Gatteschi, L.: The bounds for the error term of an asymptotic approximation of Jacobi polynomials. Orthogonal Polynomials and their Applications (Segovia, 1986). Lecture Notes in Math., vol. 1329, 203–221. Springer, Berlin (1988) · Zbl 0643.41022 |
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| [5] | Dunster, T.M.: Uniform asymptotic expansions for Whittaker’s confluent hypergeometric functions. SIAM J. Math. Anal. 20(3), 744–760 (1989) · Zbl 0673.33003 · doi:10.1137/0520052 |
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| [13] | Gatteschi, L.: Valutazione dell’errore nella formula di McMahon per gli zeri della J n (x) di Bessel nel caso 0n1. Riv. Mat. Univ. Parma 1, 347–362 (1950) · Zbl 0040.03103 |
| [14] | Gatteschi, L.: Valutazione dell’errore nella formula di McMahon per gli zeri della funzione J 0(kz)Y 0(z)J 0(z)Y 0(kz). Ann. Mat. Pura Appl. 32(4), 271–279 (1951) · Zbl 0044.29203 · doi:10.1007/BF02417962 |
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| [16] | Gatteschi, L.: Limitazione dell’errore nella formula di Hilb e una nuova formula per la valutazione asintotica degli zeri dei polinomi di Legendre. Boll. Unione Mat. Ital. 7(3), 272–281 (1952) · Zbl 0047.30704 |
| [17] | Gatteschi, L.: Una proprietà degli estremi relativi dei polinomi di Jacobi. Boll. Unione Mat. Ital. 8(3), 398–400 (1953) · Zbl 0051.30603 |
| [18] | Gatteschi, L.: Il termine complementare nella formula di Hilb–Szegö ed una nuova valutazione asintotica degli zeri dei polinomi ultrasferici. Ann. Mat. Pura Appl. 36(4), 143–158 (1954) · Zbl 0055.30103 · doi:10.1007/BF02412836 |
| [19] | Gatteschi, L.: Sugli zeri di una classe di funzioni di Bessel. Atti e Relaz. Accad. Pugliese delle Scienze (nuova ser.) 12, 3–13 (1954) |
| [20] | Gatteschi, L.: Sugli zeri della derivata delle funzioni di Bessel di prima specie. Boll. Unione Mat. Ital. 10(3), 43–47 (1955) · Zbl 0064.30802 |
| [21] | Gatteschi, L.: Sulla rappresentazione asintotica delle funzioni di Bessel di uguale ordine ed argomento. Ann. Mat. Pura Appl. 38(4), 267–280 (1955) · Zbl 0065.05801 · doi:10.1007/BF02413521 |
| [22] | Gatteschi, L.: Sulla rappresentazione asintotica delle funzioni di Bessel di uguale ordine ed argomento. Boll. Unione Mat. Ital. 10(3), 531–536 (1955) · Zbl 0068.28203 |
| [23] | Gatteschi, L.: Una nuova rappresentazione asintotica dei polinomi di Legendre mediante funzioni di Bessel. Boll. Unione Mat. Ital. 11(3), 203–209 (1956) · Zbl 0072.06502 |
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| [25] | Gatteschi, L.: Sulle serie inviluppanti e loro applicazioni alla valutazione asintotica delle funzioni di Bessel. Conf. Semin. Mat. Univ. Bari (1957)(22), 12pp. (1957) · Zbl 0089.04603 |
| [26] | Gatteschi, L.: Sul comportamento asintotico delle funzioni di Bessel di prima specie di ordine ed argomento quasi uguali. Ann. Mat. Pura Appl. 43(4), 97–117 (1957) · Zbl 0077.28202 · doi:10.1007/BF02411906 |
| [27] | Gatteschi, L.: Formule asintotiche ”ritoccate” per le funzioni di Bessel. Tabulazione e grafici delle funzioni ausiliarie. Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 93, 506–514 (1958/1959) · Zbl 0097.05701 |
| [28] | Gatteschi, L.: Formule asintotiche ”ritoccate” per il calcolo numerico dei polinomi di Laguerre nella zona oscillatoria. Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 96, 285–306 (1961/1962) · Zbl 0109.29604 |
| [29] | Gatteschi, L.: Proprietà asintotiche di una funzione associata ai polinomi di Laguerre e loro utilizzazione al calcolo numerico degli zeri dei polinomi stessi. Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 98, 113–124 (1963/1964) · Zbl 0131.07102 |
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| [31] | Gatteschi, L.: Una nuova rappresentazione asintotica dei polinomi di Jacobi. Univ. e Politec. Torino Rend. Sem. Mat. 27, 165–184 (1967/1968) |
| [32] | Gatteschi, L.: Una nuova disuguaglianza per gli zeri dei polinomi di Jacobi. Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 103, 259–265 (1969) · Zbl 0187.32001 |
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| [36] | Gatteschi, L.: New inequalities for the zeros of Jacobi polynomials. SIAM J. Math. Anal. 18(6), 1549–1562 (1987) · Zbl 0639.33012 · doi:10.1137/0518111 |
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| [39] | Gatteschi, L.: New inequalities for the zeros of confluent hypergeometric functions. In: Asymptotic and Computational Analysis (Winnipeg, MB, 1989), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. vol. 124, pp. 175–192. Dekker, New York (1990) |
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| [46] | Gatteschi, L., Giordano, C.: Upper bounds for the first zero of the Bessel function J {\(\alpha\)} (x). Atti Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 133, 177–185 (1999) · Zbl 1056.33005 |
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| [59] | Tricomi, F.G.: Funzioni Ipergeometriche Confluenti. Edizioni Cremonese, Roma (1954) |
| [60] | Tricomi, F.G.: La mia vita di matematico attraverso la cronistoria dei miei lavori. (Bibliografia commentata 1916–1967), CEDAM (Casa Editrice Dott. Antonio Milani), Padova (1967) · Zbl 0199.28603 |
| [61] | Watson, G.N.: A treatise on the theory of Bessel functions. Reprint of the second (1944) edition. In: Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge (1995) |
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