Verf. bestimmt die Bedingungen, denen ein symmetrischer Tensor \(\xi_{ik}\) genügen muß, damit man ihn auffassen kann als Deformationstensor einer Haut, dio über eine starre Fläche gespannt ist, deren Linienelement \[ ds^2 = a_{ik}\,dx^idx^k \] gegeben ist; d. h: damit auf der Fläche ein Vektorfeld \(v(P)\) existiert derart, daß \[ v_{i/k} + v_{k/i}=2\xi_{ik}, \tag{1} \] wobei die kovarianten Ableitungen in bezug auf das gegebene \(ds^2\) gebildet sind.
Ist \(K\) die Gaußsche Krümmung der Fläche, so setzen wir \[ I = -\varepsilon^{hk} \varepsilon^{ij}\xi_{ih/jk} - K\xi_k^k, \;k = \operatorname{vers\, grad} K, \;J =\frac{I}{\varDelta_1K}= k^hv_h, \;l^i=k^jk_{/j}^i, \] sodann \[ L = k^h J_{/h} - k^hk^i\xi_{hi}= l^iv_i,\quad H =\varepsilon_{ij}k^il^j, \] schließlich, wenn \(H \neq 0\), \[ m_h = \frac{\varepsilon_{hi}l^i}{H},\quad n_h=\frac{\varepsilon_{ih}k^i}H, \] woraus folgt \[ v_h = Jm_h + Ln_h. \tag{2} \] Der Skalar \(H\) und die Vektoren \(m_h\), \(n_h\) hängen nur von der zugrundegelegten Metrik ab, während die Skalare \(J\) und \(L\) auch, vom Tensor \(\xi_{ik}\), nicht aber vom Vektor \(v_i\) abhängen.
Im Falle \(H\neq 0\) ergeben sich die gesuchten Bedingungen einfach, indem man in (1) für die \(v_i\) die Ausdrücke (2) einführt. Es ergeben sich partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung für die \(\xi_{ik}\). Sehr einfach ist das Resultat, wenn \(H = 0\) und \(K\) nicht konstant ist, d. h. wenn die Fläche auf eine Rotationsfläche abwickelbar ist, deren Parallelkreise dann aus den Kurven \(K =\) const hervorgehen: Hier ergibt sich als Bedingung \(L = 0\) und für die \(\xi_{ik}\) eine Gleichung dritter Ordnung. Wenn \(K=\) const \(\neq 0\), so lautet die Bedingung \(I= 0\) (von zweiter Ordnung); wenn \(K = 0\) ist und die Koordinaten \(x_i\) cartesisch sind, so reduziert sie sich auf die bekannte Bedingung von Saint-Venant.