New research on surfaces of the third order. (Nouvelles recherches sur les surfaces du troisième ordre.) (French) JFM 16.0585.01
Die erste Arbeit ist eine kurze Note (JFM 16.0584.01), die folgenden Inhalt hat:
Nimmt man auf einer Fläche dritter Ordnung \(S_3\) zwei Punkte \(X_1,X_2\) und legt in der Fläche durch sie zwei kubische Raumcurven \(c_3,k_3\), welche sich ausserdem in \(A',B',C'\) schneiden, so treffen die Geraden \(X_1A', X_1B',X_1C'\) die Fläche noch bezüglich in \(Y_1Z_1U_1\) und es schneiden sich die Geradenpaare \(Y_1Z_1,A'B';\;Z_1U_1,B'C';\;U_1X_1,C'A'\) bezüglich in den drei Punkten \(A,B,C\), welche auf \(S_3\), in einer Geraden liegen.
Ersetzt man den Punkt \(X_1\), durch \(X_2\), so wird man auf dieselben Punkte \(A,B,C\) geführt, und die vier Geraden \(X_1X_2,Y_1Y_2,Z_1Z_2,U_1U_2\) treffen sich in einem Punkte \(Q\) der Fläche \(S_3\).
Man kommt so zu einer von Herrn Cremona u. a. betrachteten Configuration \([15_6,20_3]\) (Klein. Ann. XIII. 301. F. d. M. X. l878. 418, JFM 10.0418.02) und zu der folgenden Erzeugung der Fläche \(S_3\): Nimmt man in einer Ebene vier Gerade als Axen von vier Ebenenbüscheln, und bezieht man jeden Büschel perspectivisch auf eine von vier windschiefen räumlichen Geraden, welche nicht demselben Hyperboloid angehören, und ordnet man je vier Punkte dieser vier Geraden einander zu, welche in einer beliebigen Ebene liegen, so sind die Büschel durch eine Homographie \(H_2^4\) verbunden und erzeugen als Ort des Durchschnitts entsprechender Elemente eine aufgelöste Fläche vierter Ordnung, bestehend aus der Ebene, in der die vier Axen liegen, und einer Fläche \(S_3\).
In der zweiten Arbeit wird diese homographische Relation mit Hülfe der Rechnung eingehender untersucht.
Nimmt man auf einer Fläche dritter Ordnung \(S_3\) zwei Punkte \(X_1,X_2\) und legt in der Fläche durch sie zwei kubische Raumcurven \(c_3,k_3\), welche sich ausserdem in \(A',B',C'\) schneiden, so treffen die Geraden \(X_1A', X_1B',X_1C'\) die Fläche noch bezüglich in \(Y_1Z_1U_1\) und es schneiden sich die Geradenpaare \(Y_1Z_1,A'B';\;Z_1U_1,B'C';\;U_1X_1,C'A'\) bezüglich in den drei Punkten \(A,B,C\), welche auf \(S_3\), in einer Geraden liegen.
Ersetzt man den Punkt \(X_1\), durch \(X_2\), so wird man auf dieselben Punkte \(A,B,C\) geführt, und die vier Geraden \(X_1X_2,Y_1Y_2,Z_1Z_2,U_1U_2\) treffen sich in einem Punkte \(Q\) der Fläche \(S_3\).
Man kommt so zu einer von Herrn Cremona u. a. betrachteten Configuration \([15_6,20_3]\) (Klein. Ann. XIII. 301. F. d. M. X. l878. 418, JFM 10.0418.02) und zu der folgenden Erzeugung der Fläche \(S_3\): Nimmt man in einer Ebene vier Gerade als Axen von vier Ebenenbüscheln, und bezieht man jeden Büschel perspectivisch auf eine von vier windschiefen räumlichen Geraden, welche nicht demselben Hyperboloid angehören, und ordnet man je vier Punkte dieser vier Geraden einander zu, welche in einer beliebigen Ebene liegen, so sind die Büschel durch eine Homographie \(H_2^4\) verbunden und erzeugen als Ort des Durchschnitts entsprechender Elemente eine aufgelöste Fläche vierter Ordnung, bestehend aus der Ebene, in der die vier Axen liegen, und einer Fläche \(S_3\).
In der zweiten Arbeit wird diese homographische Relation mit Hülfe der Rechnung eingehender untersucht.
Reviewer: August, Prof. (Berlin)
References:
| [1] | Cremona, Memorie della R. Accad. dei Lincci, 1877. Math. Annal., T. XIII, p. 301.Caporall, Accad. dei Lincei, 1878.Veronese, Annali di. Matematica, 1882, p. 173. Math. Annal., T. XIX, p. 194. |
| [2] | R. de Paolis, Accad. dei Lincei, T. X, p. 123. |
| [3] | Bull. de l’Acad. roy. de Belgique, 3e Série, T. V, p. 85. C. R., T. XCVII. Acta Mathematica, T. 3, p. 181. |
| [4] | Sur la forme quadrilinéaire: Atti della R. Accademia di Torino, T. XVII, p. 299, Février 1882. |
| [5] | Au sujet des pentaèdres inscrits à uneS 3, voir le beau travail deM. Friedr. Schur:Erzeugung durch collineare Grundgebilde (Mathematische Annalen, T. 17, p. 26). |
| [6] | Une inadvertence nous avait d’abord porté à attribuer à {\(\Delta\)} le degré dix-huit; mais notre savant CollégueM. H.-G. Zeuthen ayant déterminé par la méthode énumérative le nombre des pentaèdres inscrits (V plus loin), nous avons reconnu que la forme particulière deL t 4 conduit au degré douze pour le discriminant {\(\Delta\)}. |
| [7] | La démonstration de la proposition inverse étant un peu longue nous ne la donnerons pas actuellement. Nous mentionnerons ici une application intéressante queM. Neuberg a faite de ce cas particulier d’uneH 3 4 à l’étude detétraèdres de Möbius (Mem de la Société Royale des Sciences de Liège, 2e Série, T. XI). |
| [8] | Reye,Geometrie der Lage, IIte Absch. p. 197, (2de édition 1882). |
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