Estimates on the spectrum of Schrödinger operators with attractive boundary conditions. (English) Zbl 0711.35091
Die Arbeit enthält Resultate über das Spektrum des Laplaceschen \(\Delta\)-Operators im Halbraum \({\mathbb{R}}^ d_+\) unter der Randbedingung \(\partial u/\partial x_ d=Q(x)u\) auf \(x_ d=0.\)
Unter gewissen Annahmen läßt sich das Spektrum bereits mit Hilfe des Spektrums des Operators \((-\Delta -E)^{1/2}+Q\) in \(L^ 2({\mathbb{R}}^{d-1})\) erhalten, wobei \(E<0\) zu wählen ist. Über diesen Zusammenhang gewinnt man untere Schranken für das Spektrum. In zwei weiteren Abschnitten der Arbeit werden Abschätzungen für die Anzahl der Eigenwerte bzw. deren integrierte Dichte hergeleitet. Die Präsentation des Materials ist konzentriert gehalten, was durch Verweise auf andere einschlägige Literaturstellen möglich wird.
Unter gewissen Annahmen läßt sich das Spektrum bereits mit Hilfe des Spektrums des Operators \((-\Delta -E)^{1/2}+Q\) in \(L^ 2({\mathbb{R}}^{d-1})\) erhalten, wobei \(E<0\) zu wählen ist. Über diesen Zusammenhang gewinnt man untere Schranken für das Spektrum. In zwei weiteren Abschnitten der Arbeit werden Abschätzungen für die Anzahl der Eigenwerte bzw. deren integrierte Dichte hergeleitet. Die Präsentation des Materials ist konzentriert gehalten, was durch Verweise auf andere einschlägige Literaturstellen möglich wird.
Reviewer: R.D.Grigorieff
MSC:
| 35P15 | Estimates of eigenvalues in context of PDEs |
| 35P20 | Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs |
| 35J05 | Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation |
| 35J10 | Schrödinger operator, Schrödinger equation |
References:
| [1] | Duistermaat, Invent. Math. 29 pp 39– (1975) |
| [2] | , Schrödinger Operators with Random Boundary Conditions, in: Proc. Int. Sem. Localization in Disordered Systems. Teubner-Verlag, Leipzig 1988, 223–225. |
| [3] | Englisch, Physica A 152 pp 287– (1988) · doi:10.1016/0378-4371(88)90078-7 |
| [4] | Englisch, Ann. Inst. H. Poincaré série A 46 pp 373– (1987) |
| [5] | Herbst, Commun. Math. Phys. 53 pp 285– (1977) |
| [6] | Hörmander, Ann. Math. 83 pp 129– (1966) |
| [7] | Hörmander, Arkiv för Mat. 17 pp 297– (1979) |
| [8] | , Methods of Modern Mathematical Physics. Vols. 2, 4. Academic Press, New York – San Francisco – London 1975/1978 |
| [9] | Schröder, Z. Anal. Anw. 7 pp 233– (1988) |
| [10] | Spektraleigenschaften von Schrödinger-Operatoren mit zufälligen ergodischen Randbedingungen, in: Proc. 2nd Conf. Stochastic Analysis, Wiss. Berichte IH Zwickau (1986) 141–145 |
| [11] | Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press, New York – San Francisco – London 1979 · Zbl 0434.28013 |
| [12] | Pseudodifferential Operators and Spectral Theory (in Russian). Nauka, Moscow 1978 |
| [13] | Tulovski, Mat. Sbornik (N. S.) 92 pp 571– (1973) |
| [14] | Weder, Ann. Inst. H. Poincaré A 20 pp 211– (1974) |
| [15] | Weder, J. Funct. Anal. 20 pp 319– (1975) |
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