Über die Eindeutigkeit einer Einbettung einer Klasse von scharf zweifach transitiven Permutationsgruppen in scharf dreifach transitive Permutationsgruppen. (On the uniqueness of embedding a class of sharply two-transitive permutation groups in sharply three-transitive permutation groups). (German) Zbl 0614.12017
Es seien \((F,+,\cdot)\) ein Fastkörper und \(\sigma_ i\), \(i\in \{1,2\}\), KT-Automorphismen auf \((F^*_ i)\), d.h. \(\sigma^ 2_ i=id\) und \(\sigma_ i(1+\sigma_ i(a))=1-\sigma_ i(1+a)\) für alle \(a\in F^*\setminus \{-1\}\). (Für einen Körper \((K,+,\cdot)\) existiert nach W. Benz und S. Elliger [Aequationes Math. 1, 267-274 (1968; Zbl 0165.172)] genau dann ein KT-Automorphismus \(\sigma\), wenn \((K^*,\cdot)\) kommutativ ist, und dann gilt \(\sigma (a)=a^{-1}\) für alle \(a\in K^*.)\)
Wenn F endlich ist, so gilt nach W. Kerby und H. Wefelscheid [J. Reine Angew. Math. 268/269, 17-26 (1974; Zbl 0298.20004)] \(\sigma_ 1=\sigma_ 2\). Dieses Resultat erweitern Verff. auf den Fall, daß \(F^*\) eine abelsche Untergruppe A enthält mit \([F^*: A]\in {\mathbb{N}}\). Da es zu jedem Fastkörper bzw. Fastkörper mit KT- Automorphismus eine scharf 2-fach bzw. 3-fach transitive Permutationsgruppe gibt, können Verff. auch Aussagen machen, wann gewisse scharf 2-fach transitive Permutationsgruppen in höchstens eine scharf 3-fach transitive Permutationsgruppe eingebettet werden können.
Wenn F endlich ist, so gilt nach W. Kerby und H. Wefelscheid [J. Reine Angew. Math. 268/269, 17-26 (1974; Zbl 0298.20004)] \(\sigma_ 1=\sigma_ 2\). Dieses Resultat erweitern Verff. auf den Fall, daß \(F^*\) eine abelsche Untergruppe A enthält mit \([F^*: A]\in {\mathbb{N}}\). Da es zu jedem Fastkörper bzw. Fastkörper mit KT- Automorphismus eine scharf 2-fach bzw. 3-fach transitive Permutationsgruppe gibt, können Verff. auch Aussagen machen, wann gewisse scharf 2-fach transitive Permutationsgruppen in höchstens eine scharf 3-fach transitive Permutationsgruppe eingebettet werden können.
Reviewer: H.Karzel
References:
| [1] | H. Karzel, Bericht über projektive Inzidenzgruppen. Jahresber. der DMV67, 58–92 (1964). |
| [2] | H. Karzel, Unendliche Dicksonsche Fastkörper. Arch. Math.16, 247–256 (1965). · Zbl 0131.01701 · doi:10.1007/BF01220030 |
| [3] | W. Kerby, On infinite sharply multiply transitive groups. Hamb. Math. Einzelschritten, Neue Folge Heft 6, Göttingen 1974. · Zbl 0291.20039 |
| [4] | W. Kerby undH. Wefelscheid, Über eine Klasse von scharf 3-fach transitiven Gruppen. Journal für die reine und angewandte Math., Bd268/269, 17–26, Berlin– New York 1974. · Zbl 0298.20004 |
| [5] | W. E. Scott, Group Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1964. |
| [6] | H. Wähling, Ein Zassenhauskriterram für unendliche Pastkörper. Arch, der Math., Vol.28, 255–260 (1977). · Zbl 0363.12024 · doi:10.1007/BF01223918 |
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