Im n-dimensionalen euklidischen Raum \(E^ n\) sei K ein beliebiger konvexer Körper (kompakte konvexe Punktmenge mit Innenpunkten). Es seien \(\alpha\) (K) die mittlere Schattengrenzenlänge von K, \(\beta\) (K) die mittlere Länge des relativen Randes der Normalprojektion von K auf eine Hyperebene, B eine n-Vollkugel und P ein n-Polytop. P. McMullen vermutete 1974 für \(n=3:\) \[ 1=\alpha (B)/\beta (B)\leq \alpha (K)/\beta (K)\leq \alpha (P)/\beta (P). \] Das Hauptresultat der Arbeit besteht für \(n\geq 3\) im Nachweis dieser Vermutung für glatte konvexe Körper (solche, die in jedem Randpunkt eine eindeutig bestimmte Stützhyperebene besitzen). Der Nachweis erfolgt durch polyedrische Approximation eines konvexen Körpers K und durch Reduktion der Kernfrage auf ein rein maßtheoretisches Problem. Eine zentrale Rolle innerhalb des Beweises spielt die Unterhalbstetigkeit des Funktionals \(\alpha\) (K) beim Grenzübergang von Polytopen zu gekrümmten Körpern, die im wesentlichen aus einer Additivitätseigenschaft der Lebesgue-Fläche folgt.