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Debever, Robert; Kamran, Niky; McLenaghan, Raymond G.

Sur une nouvelle expression de la solution générale des équations d’Einstein avec champ de Maxwell non singulier, aligné, sans source et avec constante cosmologique, en type D. (French) Zbl 0545.53020

Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 41, 191-206 (1984).
The paper presents a single expression for the general solution of Einstein’s vacuum and electrovac field equations with cosmological constant for Petrov type D admitting a non singular aligned Maxwell field. An invariant characterization of the subcases is proposed and the particularizations are delineated. The vector potential and the separability of the Hamilton-Jacobi equation are discussed.

Cited in 1 Document

MSC:

53B50 Applications of local differential geometry to the sciences
35Q99 Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
83C05 Einstein’s equations (general structure, canonical formalism, Cauchy problems)

Keywords:

field equations; cosmological constant; Petrov type; Maxwell field; Hamilton-Jacobi equation
Cite Review PDF
Full Text: Numdam EuDML

References:

[1] a. R. Debever , N. Kamran , R.G. McLenaghan , Bull. Cl. Sc. Acad. r. Belgique , t. LXVIII , 1982 , p. 592 . MR 726623 | Zbl 0525.53037 · Zbl 0525.53037
[2] b. R. Debever , N. Kamran , R.G. Mclenaghan , Physics Letters , t. 93 A, 1983 , p. 399 . MR 690748
[3] c. R. Debever , N. Kamran , R.G. McLenaghan , Exhaustive integration... J. Math. Phys. , t. 25 , 1984 , p. 1955 . MR 746280
[4] d. R. Debever , N. Kamran , R.G. McLenaghan , Proceedings of the Journées Relativistes , 1983 , Torino , 5-8 May 1983 ; S. Benenti, M. Francaviglia and D. Galleto eds. Technoprint ( Bologna ; 1984 , to appear). Nous remercions les éditeurs de l’autorisation de reprendre l’essentiel de ce texte augmenté de quelques précisions et du développement du 4 .
[5] Les expressions données ci-dessous pour la métrique et le champ de Maxwell par les relations (1.1) à (1.7) peuvent être obtenues à partir de la référence [1 a] par le changement de coordonnées suivant où si [3] R. Debever , R.G. McLenaghan , J. Math. Phys. , t. 22 , 1981 , p. 1711 . MR 628553 | Zbl 0467.53016 · Zbl 0467.53016 · doi:10.1063/1.525116
[6] Dans le cas où il existe un champ de Maxwell ces relations s’établissent aisément, cf. [3] 4.
[7] Dans le cas du vide les relations (2.10) ou (2.11) sont plus cachées. On se reporte à S.R. Czapor et R.G. McLenaghan , J. Math. Phys. , t. 23 , 1982 , p. 2159 . Zbl 0495.53023 · Zbl 0495.53023 · doi:10.1063/1.525273
[8] W. Kinnersley , J. Math. Phys. , t. 10 , 1969 , p. 1195 . MR 247861 | Zbl 0182.30202 · Zbl 0182.30202 · doi:10.1063/1.1664958
[9] R. Debever , a. Bull. Cl. Sc. Acad. r. Belgique , t. LV , 1969 , p. 8 . MR 247860 | Zbl 0189.55502 · Zbl 0189.55502
[10] b. Bull. Soc. Math. Belgique , t. XXIII , 1971 , p. 360 . MR 316199
[11] M. Demianski et J.F. Plebanski , Ann. Phys. , ( N. Y .), t. 98 , 1976 , p. 98 . MR 418838 | Zbl 0334.53037 · Zbl 0334.53037 · doi:10.1016/0003-4916(76)90240-2
[12] R. Debever et N. Kamran , Bull. Cl. Sc. Acad. r. Belgique , t. LXVI , 1980 , p. 585 . MR 614460 | Zbl 0465.53044 · Zbl 0465.53044
[13] W. Kinnersley , M. Walker , Phys. Rev. D , t. 2 , 1970 , p. 1359 ; Demianski et Plebanski sub. [8]. MR 317709
[14] B. Carter , Commun. Math. Phys. , t. 10 , 1968 , p. 280 . Article | Zbl 0162.59302 · Zbl 0162.59302
[15] J.K. Plebanski , Ann. Phys. ( N. Y .), t. 90 , 1975 , p. 196 . Zbl 0301.35078 · Zbl 0301.35078 · doi:10.1016/0003-4916(75)90145-1
[16] Cf. sub. [3].
[17] Cette situation a été envisagée particulièrement dans L.P. Hughston , R. Penrose , P. Sommers et M. Walker , Commun. Math. Phys. , t. 27 , 1972 , p. 303 et L.P. Hughston et P. Sommers in idem., t. 32 , 1973 , p. 147 .
[18] Ces indications et celles qui précèdent sont données pour situer les différents cas par rapport aux métriques connues sans tenter une bibliographie sérieuse du sujet. On peut se reporter à D. Kramer et al . Exact Solutions of Einstein’s field equations . Cambridge , Univ. Press , 1980 . Zbl 0449.53018 · Zbl 0449.53018
[19] M. Cahen et L. Defrise . Commun. Math. Phys. , t. 10 , 1968 , p. 280 . MR 234702
[20] Cf. [8].
[21] J.F. Plebanski , J. Math. Phys. , t. 20 , 1979 , p. 1946 . MR 546250
[22] Cf. [1], sur (3.32) A. Garcia D . et H. Salazar , G. R. G. , t. 15 , 1983 , p. 417 .
[23] J.F. Plebanski et S. Hacyan , J. Math. Phys. , t. 20 , 1979 , p. 1004 . MR 534338
[24] \gamma étant déterminé à une 1-forme fermée près, on établit grâce à (4.2) que \gamma peut toujours se mettre sous la forme (4.4).
[25] a. N. Kamran et R.G. Mclenaghan , Letters in Math. Phys. , t. 7 , 1983 , p. 381 . MR 719851 | Zbl 0521.53036 · Zbl 0521.53036 · doi:10.1007/BF00398759
[26] b. N. Kamran et R.G. McLenaghan , Separation of variables and symmetry operators for neutrino and Dirac equations ... J. Math. Phys. , t. 25 , 1984 , p. 1019 . MR 739257 | Zbl 0900.53030 · Zbl 0900.53030 · doi:10.1063/1.526269
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