Es sei \(p_k \geq 0\) \((k=0,1,...)\), \(\sum_{k=0}^\infty p_k =1\) und \(\sum_{k=1}^\infty kp_k = m \leq \infty\), ferner sei \(P(x) = \sum_{k=0}^\infty p_k x^k\) für keine ganze Zahl \(t>1\) eine Potenzreihe in \(x^t\); dann besitzt die Funktion \(1-P(x)\) keine Nullstelle im Inneren des Einheitskreises, und die Reihe \[ (1-P(x))^{-1} = \sum_{k=0}^\infty u_k x^k \] hat die Eigenschaft \(\lim_{n\to \infty} u_n = 1/m\) (mit \(1/m = 0\) für \(m = \infty\)). Dieser Satz wird (elementar) bewiesen. Für den Fall \(m < \infty\) wird ein zweiter Beweis gegeben. Wegen Ausdehnung des Satzes auf den kontinuierlichen Fall wird auf D.Blackwell (Zbl 0030.20102) verwiesen.
Let \(p_k \geq 0\) \((k=0,1,...),\) \(\sum_{k=0}^\infty p_k =1\) and \(\sum_{k=1}^\infty kp_k = m \leq \infty\), further let \(P(x) = \sum_{k=0}^\infty p_k x^k\) for no entire number \(t>1\) a power series in \(x^t\); then the function \(1-P(x)\) has no zero inside the unit circle, and the series \[ (1-P(x))^{-1} = \sum_{k=0}^\infty u_k x^k \] has the property \(\lim_{n\to \infty} u_n = 1/m\) (with \(1/m = 0\) for \(m = \infty\)). This theorem is proved (elementary). In case of \(m < \infty\) is given a second proof. Concerning the extension of this theorem to the continuous case see D. Blackwell (Zbl 0030.20102).