Sei G eine homogene Gruppe, sei \({\mathfrak g}\) die Liealgebra von G und sei \(L=\sum^{m}_{j=1}L_ j\) ein linksinvarianter Differentialoperator auf G, wobei die Operatoren \(L_ j\) homogen vom Grade j sind. Kriterien für die lokale Auflösbarkeit homogener Operatoren \(L=L_ m\) wurden in der Literatur mehrfach angegeben (siehe z.B. the first author [Trans. Am. Math. Soc. 280, 53-72 (1983; Zbl 0526.22009)], the authors [Acta Math. 147, 265-288 (1981; Zbl 0486.22006)], P. Lévy-Bruhl [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 292, 197-200 (1981; Zbl 0461.35015)], the second author [Proc. Am. Math. Soc. 74, 383-388 (1979; Zbl 0413.58021)], the second author and D. S. Tartakoff [Commun. Partial Differ. Equations 6, 625-650 (1981; Zbl 0477.58032)]). In der vorliegenden Arbeit studieren die Autoren nun den Fall eines nichthomogenen Operators L. Sie nehmen dabei an, daß G nilpotent von der Klasse 2 ist; d.h. \({\mathfrak g}={\mathfrak g}_ 1\oplus {\mathfrak g}_ 2\) mit \({\mathfrak g}_ 2=[{\mathfrak g},{\mathfrak g}]=[{\mathfrak g}_ 1,{\mathfrak g}_ 1]\). Der Operator L heißt transversal-elliptisch, wenn \(\sigma (L_ m)\neq 0\) ist für alle nichttrivialen eindimensionalen unitären Darstellungen \(\sigma\) von G.
Die Autoren zeigen, daß die Bedingung \(Kern(L^ t)\cap L^ 2(G)=\{0\}\) notwendig ist für die lokale Auflösbarkeit eines transversal-elliptischen Operators L. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, falls G vom Typ (H) ist, d.h. falls die Bilinearform \(B_{\eta}(X,Y):=\eta ([X,Y])\) auf \({\mathfrak g}_ 1\) nichtausgeartet ist für alle \(\eta\in {\mathfrak g}^*_ 2\setminus \{0\}\). Ferner wird gezeigt, daß L in diesem Falle sogar eine Fundamentallösung besitzt. Schließlich diskutieren die Autoren noch Möglichkeiten und Grenzen der Erweiterung ihrer Resultate auf Gruppen höherer Nilpotenzklasse.