Herr Laguerre (siehe JFM 11.0235.01 und JFM 11.0235.02) betrachtet 2 verschiedene Transformationen, welche die Form einer linearen Differentialgleichung mit \(x\) als unabhängiger und \(y\) als abhängiger Variablen unverändert lassen. Man erhält dieselben durch die aufeinanderfolgenden Substitutionen \(x=f(z),\; y=V(z).u\). Die verschiedenen Gleichungen, die vermittelst dieser Substitutionen aus eienr und derselben hervorgehen, indem man den Functionen \(f(z)\) und \(V(z)\) alle möglichen Formen giebt, werden zu derselben Classe gerechnet. Hiernach gehören alle linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu einer einzigen Classe; denn sie sind sämmtlich vermöge der genannten Substitutionen auf \(y''=0\) reducirbar. In der ersten Note beschäftigt sich der Verfasser insbesondere mit der Differentialgleichung dritter Ordnung \[ y'''+3Py''+3Qy'+Ry=0. \] Die beiden Ausdrücke \[ e^{-\int Pdx} \quad \text{und} \quad 4P^3+6PP'+P''-6PQ-3Q'+2R \] haben die Eigenschaft, nach obigen Transformationen sich bis auf einen von den Transformationen allein abhängigen Factor zu reproduciren, sind also Invarianten. Setzt man den zweiten Ausdruck gleich \(J\) und \(e^{3\int Pdx}.J=K\), während die transformirten ausdrücke mit \(J_0,\; K_0\) bezeichnet werden, so bestehen die Relationen \[ J_0=J \left( \frac {dx}{dz} \right) ^3,\quad K_0=KV^3(z). \] Diese geben einerseits ein Kriterium für die Zugehörigkeit zweier Gleichungen dritter Ordnung zu derselben Classe, andererseits lassen sich mit ihrer Hülfe alle Gleichungen dritter Ordnung durch blosse Anwendung von Quadraturen auf eine reducirte Form bringen, die nur eine willkürliche Function enthält. Sie lautet: \[ (1)\quad \frac {d^3u}{dz^3}+2F(z)\frac {du}{dz}+(F'(z)+\frac 12 )u=0. \] In der zweiten Note vergleicht der Verfasser die Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ Ay^{(n)}+nBy^{(n-1)}+\frac {n(n-1)}{1.2}Cy^{(n-2)}+\dotsm +nKy'+Ly=0 \quad (A=1) \] betreffs ihrer Invarianten mit der algebraischen Form \[ Y=A\lambda ^n+nB\lambda ^{n-1}\mu +\dotsm +nK\lambda\mu^{n-1}+L\mu^n. \] Durch die Substitution \(y=e^{-\int \frac BA dx}.u\) geht die Differentialgleichung in eine andere über, in welcher der zweite Term fehlt. Bezeichnet man die transformirte Gleichung mit \[ u^{(n)}+\frac {n(n-1)}{1.2} Hu^{(n-2)}+\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3} \theta u^{(n-3)}+\dotsm =0, \] so haben die Functionen \(H,\;\theta\ldots\) die Eigenschaft, invariabel zu bleiben, wenn man die unbekannte Function ändert (Semi-Invarianten). Sie sind analog den associirten Covarianten der Form \(Y\). \[ H=AC-B^2-(AB'-A'B) \] entspricht der Hesse’schen Covariante von \(Y\). Ferner geht durch die oben erwähnten Transformationen \(H\) über in \[ H_0=\left( \frac {dx}{dz} \right) ^4 \left\{ \left( \frac {dz}{dx} \right) ^2H-\frac {n+1}6 \left( \frac {dz}{dx} \frac {d^3z}{dx^3} - \frac 32 \frac {d^2z}{dx^2} \right) ^2 \right\} . \] Die Bestimmung, dass \(H_0=0\) und somit in der transformirten Differentialgleichung das zweite und dritte Glied verschiedene, erfordert, wie man erkennt, wenn \(\frac {dz}{dx} =\frac 1{\omega ^2}\) gesetzt wird, die Integration einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung und eine darauf folgende Quadratur. Für die oben mit \(J\) bezeichnete Invariante der Differentialgleichung dritter Ordnung hat man die Gleichung \(J=\theta - \frac 32 H'\). Ist nun \(J=0\), so verschwindet mit \(H\) auch \(\theta\) und die linearen Gleichungen dritter Ordnung lassen sich also im Falle \(J=0\) auf die Gleicung \(\frac {d^3u}{dz^3} =0\) reduciren, so dass die Integration einer linearen gleicung zweiter Ordnung und eine Quadratur genügen, um dieselben zu integriren.
Durch die vorstehenden Laguerre’schen Untersuchungen sind die beiden folgenden Noten (JFM 11.0235.03 und JFM 11.0235.04) veranlasst. Herr Brioschi betrachtet die Differentialgleichung dritter Ordnung \[ y'''+3ly'+my=0 \] und leitet die beiden folgenden invarianten Ausdrücke ab: \[ a=3l'-2m,\quad b=6\frac {d^2 \log a}{dx^2} - \left( \frac {d\log a}{dx} \right) ^2 -27l, \] von denen der erstere mit \(J\) identisch ist, wenn \(P=0\) gesetzt wird. Ihre Relationen zu den transformirten Ausdrücken \(a_0\) und \(b_0\) sind \[ a_0=a \left( \frac {dx}{dz} \right) ^3,\quad b_0=b \left( \frac {dx}{dz} \right) ^2, \] woraus sich die Function \(b^3:a^2\) als absolute Invariante ergiebt. Falls \(a=0\), reducirt sich die Gleichung auf \[ \xi ''+\frac 34 l\xi =0\quad (\xi =y^2). \] Wie der Verfasser noch bemerkt, bleiben die erwähnten invarianten Formen noch für die Gleichungen höherer Ordnung erhalten. Herr Combescure geht von der Differentialgleichung \[ (2)\quad y'''+py'+qy=0 \] aus und setzt \(y=uv\), bestimmt dann \(x\) und \(v\) als Functionen von \(z\) durch die bleiben Gleichungen \[ v=\frac {dx}{dz},\quad v^3\left( \frac 12 \frac {dp}{dx} -q \right) =\varphi (z), \] wo \(\varphi\) eine beliebige Function von \(z\) bedeutet. Die transformirte Gleichung in \(u\) und \(z\) geht für \(\varphi\)=const. in die Laguerre’sche (1) über, und erfordert, wie diese, zu ihrer Aufstellung eine blosse Quadratur. Durch die Substitution \(v=w^2\), wo \(w\) ein Integral der Gleichung \[ w''+\frac 14 pw=0 \] bezeichnet, geht die Gleichung (2) über in die binomische Gleichung \[ \frac {d^3u}{dz^3} +v^3 \left( q-\frac 12 \frac {dp}{dx} \right) u=0. \] Diese Reduction, welche eine particuläre Lösung einer linearen Gleichung zweiter Ordnung und 2 Quadraturen erfordert, steht, wie der Verfasser bemerkt, mit der Laguerre’schen in keiner nothwendigen Beziehung.