Aus der Einleitung: Die Arbeit gliedert sich in drei Kapitel. Dieser Einleitung folgt ein Kapitel zu den Grundlagen der approximativen Approximationen, in dem diese zunächst allgemein definiert werden. Die folgenden Ergebnissen zu Eigenschaften und Beispielen dieser Approximationsmethode gehen auf gemeinsame Arbeiten von A. Maz’ya und G. Schmidt zurück [IMA J. Numer. Anal. 16, No. 1, 13-29 (1996; Zbl 0838.65005); Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., IX. Ser., Rend. Lincei, Mat. Appl. 6, No. 3, 161-184 (1995; Zbl 0845.65008)]. Am Schluss des Kapitels wird ein kurzer Überblick über die weitere Entwicklung der Theorie approximativer Approximationen und ihrer Anwendungen gegeben.
Im zweiten Kapitel wird die numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit nichtlinearer rechter Seite und Cauchy-Anfangsbedingungen \[ \begin{aligned} u_t({\mathbf x}, t)- \nu\Delta u({\mathbf x}, t) &= \nabla{\mathbf f}({\mathbf x}, t,u)+ F({\mathbf x}, t,u)\\ u({\mathbf x}, 0) & = \varphi({\mathbf x}),\end{aligned} \] \({\mathbf x}\in \mathbb{R}^d\), \(t> 0\), betrachtet. Der von V. Maz’ya und V. Karlin [BIT 34, No. 1, 129-147 (1994; Zbl 0821.65063)] entwickelte Algorithmus basiert auf der Integraldarstellung der Lösung dieses Problems. In dieser Lösungsformel werden die ortsabhängigen Größen durch approximative Approximationen der Ordnung \(N\) ersetzt, wobei die Basisfunktionen so gewählt werden, dass die Integrale explizit bestimmt werden können. Eine einfache Approximation bezüglich der Zeit führt auf einen expliziten Zeitschrittalgorithmus, der in den folgenden Abschnitten analysiert, diskutiert und getestet wird. Dabei kann die von Maz’ya und Karlin vermutete Fehlerordnung \({\mathcal O}(\tau+ h^N)\) (bzw. \({\mathcal O}(\tau^2+ \tau h^N)\) in jedem Zeitschritt) bewiesen werden.
In [SIAM J. Sci. Comput. 18, No. 3, 736-752 (1997; Zbl 0872.65081)] haben V. Karlin und V. Maz’ya die Anwendung approximativer Approximationen auf die Lösung von Gleichungen der Form \[ u_t- P_1u= P_2 F({\mathbf x}, t,u, P_3 u) \] mit Pseudodifferentialoperatoren \(P_1\), \(P_2\) und \(P_3\) und einer glatten Funktion \(F\) erweitert. Dieser Gleichungstyp umfasst insbesondere numerisch schwierig zu behandelnde nichtlokale Evolutionsgleichungen. Die Gleichung wird zunächst mit einem Finite-Differenzen-Schema bezüglich der Zeitvariablen diskretisiert. Im entstehenden Zeitschrittalgorithmus werden die ortsabhängigen Größen wieder durch approximative Approximationen der Ordnung \(N\) ersetzt. Die Vorstellung dieser Algorithmen, ihre analytische Fehlerabschätzung und illustrierende Beispiele und Testrechnungen sind Inhalt des dritten und letzten Kapitels. Auch hier kann die von Karlin und Maz’ya vermutete Fehlerordnung von \({\mathcal O}(\tau^2+ h^N)\) (bzw. \({\mathcal O}(\tau^3+\tau h^N)\) in jedem Zeitschritt) bewiesen werden.