Ce volume constitue le premier exposé didactique d’une partie des progrès considérables réalisés par la théorie de l’homologie dans ces dix dernières années; le lecteur qui voudra se rendre compte de l’importance de ces progrès, surtout en ce qui concerne les méthodes d’exposition, pourra par exemple comparer ce livre au dernier en date des grands Traités de Topologie algébrique, celui de S. Lefschetz [Algebraic topology. Am. Math. Colloq. Publ. Vol. 27. New York: AMS (1942), reprint (1948; Zbl 0036.12202)]. La méthode d’exposition choisie par les AA. est fondée sur la conception (qui leur est propre) d’une définition axiomatique de l’homologie: parmi les propriétés les plus simples et les plus utiles de la théorie, on en isole un certain nombre que l’on pose en axiomes; et le fait remarquable, découvert par les AA., est que, pour les catégories d’espaces les plus usuels, ces axiomes caractérisent complètement les groupes d’homologie, à un “isomorphisme” près. Il n’y a donc pas à choisir (sinon pour raisons de commodité) entre les nombreux modes de définition de l’homologie proposés par divers auteurs dans les 20 dernières années; en outre, pour la plupart des applications de l’homologie, ces définitions (en général assez compliquées) sont tout à fait inutiles (elles ne servent qu’à donner une preuve d’existence); l’application directe des axiomes fournit un outil beaucoup plus maniable, à peu près entièrement débarrassé des longs calculs d’autrefois.
Les trois premiers chapitres donnent l’énoncé des axiomes, leurs premières conséquences, et la démonstration du théorème fondamental d’unicité. La notion d’homologie part de deux ”catégories” d’objets: d’une part, une catégorie d’espaces topologiques, ou plutôt de couples \((X, A)\) de tels espaces, avec \(A\subset X\) (ce peut être, soit la catégorie de tous les couples possibles satisfaisant à cette condition, ou on peut se restreindre au cas où \(A\) et \(X\) sont compacts, ou au cas où \(X\) est localement compact et \(A\) fermé dans \(X\)); de l’autre, une catégorie de groupes abéliens (\(R\)-modules sur un anneau ayant un élément unité, ou groupes compacts). Trois conceptions dominent la théorie: à chaque couple \((X, A)\) d’espaces de la catégorie donnée et à chaque groupe \(G\) de la catégorie donnée est associée une suite de groupes abéliens \(H_q(X, A; G)\) ou \(H_q(X, A)\) [groupe d’homologie relative de \(X\) par rapport à \(A\), à coefficients dans \(G\), de dimension \(q\); intuitivement, c’est le quotient du groupe des chaînes \(q\)-dimensionnelles de \(X\), dont le bord est dans \(A\), par celui des chaînes de même dimension, qui sont des bords, modulo \(A\), de chaînes \((q+1)\)-dimensionnelles]; le nombre \(q\) est un entier qui initialement peut varier de \(-infty\) à \(+\infty\). En second lieu, à la catégorie d’espaces envisagés est associée une catégorie d’applications de ces espaces les uns dans les autres (le plus souvent, les applications continues); et à toute application \(f\colon (X, A)\to (Y, B)\) (i. e. telle que \(f(X)\subset Y\), \(f(A)\subset B)\) de cette catégorie doit correspondre pour chaque \(q\), un homomorphisme \(f_{*q}\), de \(H_q(X, A)\) dans \(H_q(Y, B)\). Enfin, il y a un homomorphisme fondamental, dit bord \(\partial\), qui applique chaque \(H_q(X, A)\) dans \(H_{q-1}(A)\) [écrit pour \(H_{q-1}(A, \emptyset)\)].
Cela posé, les AA. énoncent au chap. I les 7 axiomes fondamentaux reliant les notions précédentes; les trois premiers expriment que \(f_*\) est l’identité si \(f\) est l’identité, que \((gf)_* = g_* f_*\) et que \(\partial\) et \(f_*\) commutent; le dernier exprime le lien entre \(G\) et les groupes d’homologie [pour un espace réduit à un point \(P\), \(H_q(P) = 0\) pour \(q\ne 0\) et \(H_0(P) = G\) à une isomorphie près]; les axiomes 5 et 6 sont appelés respectivement axiome d’homotopie et axiome d’excision; ils expriment respectivement que deux applications homotopes \(f\), \(g\) donnent les mêmes homomorphismes \(f_*\), \(g_*\), et que si on enlève de \(A\) un ensemble ouvert \(U\) tel que \(\overline U\subset A\), l’homologie de \(X - U\) relative à \(A - U\) est la même que celle de \(X\) relative à \(A\).
Enfin, l’axiome le plus important (qui domine toute la topologie algébrique contemporaine, ainsi que les récentes applications de l’homologie en algèbre pure) est l’axiome d’exactitude, d’après lequel, dans la suite
\[ \cdots \overset{i_q}{\longleftarrow} H_{q-1}(A) \overset{\partial}{\longleftarrow} H_q(X, A) \overset{j_q}{\longleftarrow}H_q(X) \overset{i_q}{\longleftarrow}H_(A) \overset{\partial}{\longleftarrow}\cdots, \]
[où \(i\) est l’injection \((A, \emptyset) \rightarrow (X, \emptyset)\), \(j\) l’injection \((X, \emptyset)\rightarrow (X, A)\)] l’image de chaque homomorphisme est le noyau du suivant.
Les AA. donnent aussi les axiomes correspondants pour la cohomologie (qui, dans tout le Livre, ne joue qu’un rôle subordonné); puis, dans le reste du chap. I, ils développent les premières conséquences des axiomes, montrant notamment comment on peut généraliser l’homologie relative à la notion d’homologie d’un ”triplet” \((X, A, B)\) (avec \(B\subset A\subset X)\) et même d’une ”triade” \((X, X_1, X_2)\) \((X_1\) et \(X_2\) sous-espaces quelconques de \(X)\); les “suites exactes” d’homologie correspondantes jouent un rôle technique important dans la suite.
Les chap. Il et III sont consacrés à l’homologie des complexes simpliciaux (ou, ce qui revient au même, des espaces triangulables). Les notions élémentaires classiques sont définies et discutées au chap. II: un complexe simplicial (fini) est défini comme ensemble \(K\) de faces d’un simplexe tel que toute face d’un simplexe de \(K\) est encore dans \(K\); \(\vert K\vert\) désigne l’espace réunion des simplexes de \(K\). Les notions d’application simpliciale, de subdivision barycentrique, d’approximation simpliciale, sont ensuite définies comme d’ordinaire. Le produit de deux complexes simpliciaux (qui, dans ce volume, n’est utilisé que lorsque l’un des facteurs est un 1-simplexe) est aussi défini par une méthode très élégante.
Le chap. III établit que si une théorie d’homologie existe dans la ”catégorie” des espaces triangulables [ou plutôt des couples \((X, A)\), où \(A\) est un sous-complexe de la triangulation de \(X\)], elle est nécessairement isomorphe à celle que donne la construction classique. Autrement dit, à partir des axiomes, il s’agit de remonter à cette construction. La marche générale des idées est la suivante. \(K\) désignant un complexe simplicial, \(L\) un sous-complexe, \(K^q\) le squelette \(q\)-dimensionnel de \(K\), le groupe \(C_q(K, L)\) des \(q\)-chaînes de \(K\) modulo \(L\) est défini à partir de l’homologie comme \(H_q(\vert K^q \cup L\vert, \vert K^{q-1}\cup L\vert)\). L’opérateur-bord \(\partial_q\colon C_q(K, L) \rightarrow C_{q-1}(K, L)\) est défini comme le composé \(k_* \partial\), où
\[ \partial\colon H_q(\vert K^q \cup L\vert, \vert K^{q-1}\cup L\vert) \rightarrow H_{q-1}(\vert K^{q-1} \cup L\vert) \]
est donné par la théorie de l’homologie, et \(k_*\) provient de l’inclusion \(k\colon (\vert K^{q-1} \cup L\vert, \emptyset \rightarrow \vert K^{q-1} \cup L\vert, \vert K^{q-2} \cup L\vert)\). L’application des axiomes au cas particulier où \(K\) est un \(q\)-simplexe \(s^q\), \(L\) sa frontière \(\dot s^q\), montre que \(H_q(\vert s^q\vert, \vert \dot s^q\vert)\) est isomorphe à \(G\), et fournit un isomorphisme bien déterminé (l’ ”isomorphisrne d’incidence”) de \(H_q(\vert s^q\vert, \vert \dot s^q\vert)\) sur \(H_{q-1}(\vert s^{q-1}\vert, \vert \dot s^{q-1}\vert)\) où \(s^{q-1}\) est une face de \(s^q\); à partir de là, il est facile d’associer à tout ordre \(A^0 < A^1 < \ldots < A^q\) des sommets du simplexe \(s^q\) un isomorphisme bien déterminé \(g \rightarrow g A^0 A^1 \cdots A^q\) de \(G\) sur \(H_q(\vert s^q\vert, \vert \dot s^q\vert)\); l’influence de l’ordre considéré sur cet isomorphisme s’élucide en appliquant les axiomes aux automorphismes simpliciaux du simplexe, et on aboutit ainsi à l’écriture habituelle des \(q\)-chaînes et de leur bord. Cela fait, on peut définir les groupes d’homologie comme d’ordinaire, au moyen des \(q\)-cycles et des \(q\)-bords (modulo \(L)\), et il s’agit enfin de prouver que ces groupes \(H_q(K, L)\) sont canoniquement isomorphes aux groupes \(H_q(\vert K\vert, \vert L\vert)\) de la théorie axiomatique et en outre indé-pendants des triangulations de\(\vert K\vert\) et \(\vert L\vert)\), ce qui se fait par un emploi ingénieux de nombreuses suites exactes.
Les chapitres VI, VII et IX donnent des démonstrations d’existence de théories d’homologie dans trois cas: l’homologie simpliciale pour les complexes simpliciaux, l’homologie singulière et l’homologie de Čech pour les espaces topologiques quelconques.
Les chap. IV et V introduisent des notions préliminaires. Au chap. IV, un langage commode, celui des ”foncteurs”, est utilisé pour décrire une fois pour toutes des situations générales très simples qui se présentent très souvent par la suite, et éviter ainsi d’ennuyeuses redites.
Le chap. V contient les préliminaires algébriques, notamment les propriétés élémentaires du produit tensoriel \(C\otimes G\) de deux \(R\)-modules, et de leur groupe d’homomorphismes \(\operatorname{Hom}(C, G)\). Un complexe abstrait \(R\) (“chain complex”) est défini comme une suite infinie de groupes \(C_q(K)\) et d’homomorphismes \(\partial_q\):
\[ \cdots\longleftarrow C_{q-2}(K)\underset{\partial_{q-1}}{\longleftarrow} C_{q-1}(K) \underset{\partial_q}{\longleftarrow}C_q(K)\longleftarrow \cdots \]
qui est une ”suite d’ordre 2”, i. e. telle que \(\partial_{q-1} \partial_q = 0\) (une telle suite n’est pas nécessairement exacte).
Il est facile à partir d’une telle suite de définir à la manière habituelle les groupes d’homologie (abstraits) \(H_q(K)\) du complexe; la ”théorie relative” abstraite, se définit de même à partir d’un sous-complexe \(L\) [formé de sous-groupes \(C_q(L)\subset C_q(K)\)] et du complexe quotient \(M\) [formé des quotients \(C_q(K)/C_q(L)\)], et on établit le résultat fondamental qu’à la suite exacte:
\[ 0\longrightarrow L\overset{\varphi}{\longrightarrow} K\overset{\psi}{\longrightarrow} M\longrightarrow 0 \]
correspond la suite exacte d’homologie
\[ \cdots\longleftarrow H_{q-1}(L)\underset{\partial_q}{\longleftarrow} H_q(M) \underset{\psi_q}{\longleftarrow}H_q(K) \underset{\varphi_q}{\longleftarrow} H_q(L)\longleftarrow \cdots. \]
Il faut encore, de ce point de vue, définir ”abstraitement” les ”homotopies”, ce qui se fait par les classiques opérateurs d’homotopie de Lefschetz (”chain homotopies”), la notion d’“excision” [une ”excision” abstraite \(f\colon K\rightarrow L\) signifie simplement que \(f_*\) est un isomorphisme de \(H_q(K)\) sur \(H_q(L)\) pour tout \(q\)], et enfin la notion de ”complexe ponctuel” \(K\) [défini par les conditions \(H_q(K) = 0\) pour \(q\ne 0\) et \(H_0(K) = C_0(K)\)].
Avec ces définitions l’homologie ”abstraite” vérifie les 7 axiomes. Pour obtenir les groupes d’homologie à coefficients dans un groupe \(G\), on applique la meme construction aux produits tensoriels \(C_q(K)\otimes G\) (pour l’homologie) ou aux groupes \(\operatorname{Hom}(C_q(K), G)\) (pour la cohomologie).
L’ ”homologie simpliciale formelle” étudiée au chap. VI n’est pas une ”théorie d’homologie” au sens du chap. I, mais bien en fait une théorie purement algébrique, cas particulier de celle développée au chap. V. On part d’un ”complexe simplicial formel” \(K\), qui n’est autre qu’un ensemble de parties finies (simplexes) d’un ensemble \(W\), avec la condition que \(s\in K\) et \(s' \subset s\) entraîne \(s'\in K\). Chaque suite finie \(A^0\cdots A^q\) où les \(A^i\) sont tous dans un simplexe de \(K\) (ils peuvent être distincts ou non) est dit \(q\)-chaîne élémentaire, et le groupe abélien libre engendré par ces \(q\)-chaînes est dit groupe des \(q\)-chaînes et noté \(C_q(K_0)\). On définit comme d’ordinaire des opérateurs ”bords” \(\partial_q\) [on pose \(C_q(K_0) = 0\) si \(q < 0\)], et on est ainsi en mesure d’appliquer au ”complexe abstrait” \(K\), la théorie du chap.V. (Les seules applications \(f\colon K_0\rightarrow K'_0\) que l’on considère au début sont celles provenant d’applications simpliciales de \(K\) dans \(K'\).) Il faut seulement préciser la notion d’ ”homotopie” (celles d’ ”excision” et de ”complexe ponctuel” sont définies de façon naturelle; en fait, on a même un ”axiome d’excision” plus fort que dans le chap. I); cette notion est remplacée par la notion d’ ”applications simpliciales contigues”, deux telles applications \(f\), \(g\) de \(K\) dans \(K'\) ayant la propriété que pour tout simplexe \(s\) de \(K\), \(f(s)\) et \(g(s)\) sont dans le même simplexe de \(K'\); cela permet de définir facilement un opérateur d’homotopie.
Le chapitre se poursuit par l’étude d’applications \(K\rightarrow K'\) plus générales que celles provenant d’applications simpliciales de \(K\) dans \(K'\), en particulier l’application provenant de subdivisions barycentriques lorsque \(K\) est un complexe simplicial au sens du chap. II; on montre ainsi que la subdivision barycentrique ne change pas l’homologie. Il est aussi prouvé qu’on aboutit aux mêmes groupes d’homologie quand on part (comme dans la théorie classique) des ”simplexes orientés” au lieu des ”chaînes élémentaires”. Enfin une note montre que pour un espace triangulable, les groupes d’ ”homologie simpliciale formelle” déduits d’une triangulation sont en fait indépendants de cette triangulation, i. e. le théorème fondamental d’invariance de la théorie classique. [N. B.: dans la démonstration, il semble au Réf. que les 3 premières lignes de la p. 181 ne sont pas correctes, car du fait que \(\alpha(T, T') \alpha(T', T^m)\) est un isomorphisme, il est déduit que \(\alpha(T', T^n)\) est ”sur”, ce qui est inexact sans autre hypothèse. Pour compléter le raisonnement, il suffit de prendre \(m\) tel que \(T'^m < T^n < T' < T\) et de remarquer que \(\alpha(T, T^n)\) et \(\alpha(T', T'^m)\) sont des isomorphismes.]
Avec le chap. VII, on revient à la topologie. Ici, on part des ”simplexes singuliers”, applications continues de simplexes euclidiens dans un espace \(X\), et le groupe des \(q\)-chaînes singulières \(C_q(X)\) est le groupe libre engendré par toutes les applications continues d’un \(q\)-simplexe fixe \(\Delta_q\) dans \(X\). L’homotopie et l’excision sont ici les mêmes qu’au chap. I (en fait, ici encore, on a un axiome d’excision plus fort); la seule partie du chapitre qui ne soit pas une pure application concerne la démonstration des axiomes d’homotopie et d’excision. Cela fait, on a une théorie d’homologie valable pour tous les couples d’espaces \((X, A)\), et qui naturellement donne une homologie ”isomorphe” à l’homologie simpliciale pour les espaces triangulables (ce fait est d’ailleurs démontré directement à nouveau). On peut aussi étendre la théorie à des ”triades” d’espaces quelconques.
L’autre méthode de définition d’une théorie d’homologie applicable aux espaces topologiques généraux, celle de Čech, est présentée au chap. IX, après un chapitre préliminaire où sont exposées les notions essentielles relatives aux limites projectives d’espaces ou de groupes et aux limites inductives de groupes. Ici, on sait qu’on part des recouvrements ouverts de \(X\), qu’on associe à chaque recouvrement son nerf, qui est un complexe simplicial formel au sens du chap. VI, puis qu’on ”passe à la limite” (pour les groupes d’homologie des nerfs) suivant l’ensemble filtrant des recouvrements ouverts; cela donne une limite projective pour les groupes d’homologie, une limite inductive pour les groupes de cohomologie. La démonstration des axiomes d’homotopie et d’excision pour ces groupes est assez longue, mais sans difficulté essentielle; par contre, on ne peut établir l’axiome d’exactitude que pour la cohomologie à coefficients dans un \(R\)-module, lorsqu’on a affaire à un couple général \((X, A)\). Pour l’homologie, l’exactitude ne vaut que pour les couples com pacts \((X, A)\), à coefficients dans un groupe compact ou un espace vectoriel (en raison des difficultés du passage à la limite projective pour des groupes qui ne sont pas de ces deux catégories: un exemple au chap. VIII montre que l’exactitude ne se conserve pas nécessairement à la limite), et pour les couples triangulables (ce qui naturellement démontre l’identité de l’homologie de ëech et de l’homologie simpliciale pour ces derniers).
En général, la suite d’homologie de Čech est seulement ”d’ordre 2”, comme le montre un exemple du chap. X. Toutefois, ce défaut est compensé par une propriété de ”continuité” qui fait l’objet essentiel du chap. X: pour une limite projective d’espaces compacts, les groupes d’homologie de Čech (à coefficients quelconques) sont limites projectives des groupes d’homologie de la famille d’espaces considérée. En outre, cette propriété caractérise l’homologie de Čech pour les couples compacts, parmi toutes les théories d’homologie ”partiellement exactes” (i. e. où la suite d’homologie est seulement d’ ”ordre 2” en général, et exacte sur les espaces triangulables). L’idée de la démonstration consiste à obtenir un espace compact comme limite projective d’espaces triangulables. Un exemple montre d’ailleurs que l’homologie singulière ne possède pas la propriété de continuité. Enfin, le chapitre contient aussi une définition de l’ho-mologie sur les espaces localement compacts (en considérant leur compactification d’Alexandroff par un seul point à l’infini), ainsi qu’une autre théorie valable pour les espaces normaux, et qui consiste à passer à leur compactification de Stone-Čech (dite ”de Tychonoff” par les AA.).
Un dernier chapitre montre avec quelle facilité on applique l’homologie axiomatique à la démon-stration des théorèmes classiques de l’homologie des espaces euclidiens [invariance du domaine, applications essentielles, degré d’application, théorème fondamental de l’algèbre (démontré aussi pour les quaternions et les nombres de Cayley!)]. D’autres applications sont promises pour un second volume, qui développera aussi, entre autres, la théorie axiomatique des divers ”produits” de l’homologie.
Chacun des chapitres est complété par des notes historiques et de nombreux exercices, de nature très variée et d’un intérêt constant. Le mode d’exposition est d’une clarté parfaite et reste cependant aussi concis que possible. Le plan général serait peut-être plus net si l’algèbre et la topologie étaient mieux séparées, les chap. IV, V et VI venant dès le début de l’ouvrage; mais sans doute les AA. ont-ils craint que la motivation des axiomes n’apparaisse plus aussi clairement.