On a fully nonlinear Yamabe problem. (English) Zbl 1121.53027
Sur une variété \((M,g_0)\) Riemannienne compacte orientée, on note \(\sigma_k(g_0)\) la \(k^{\text{ième}}\) fonction symétrique des valeurs propres du tenseur de Schouten. Le problème considéré est: \(k\) étant fixé, existe-t-il une métrique \(g\) conforme à \(g_0\) \((g\in [g_0])\), tell que \(\sigma_k(g)=\text{const.}\) Ce problème est une généralisation du problème de Yamabe (\(\sigma_1(g)\) est proportionnel à \(R(g)\)). On suppose que \(\sigma_j(g_0)> 0\) partout et pour tout \(j\leq k\). On dira que \(g\in\Gamma^+_k\).
Le théorème principal est: Si \(g_0\in\Gamma^+_q\), si la dimension \(n> 8\) et si la variété n’est pas localement conformement plate, alors if existe \(g\in[g_0]\) avec \(\sigma_2([g])=\text{const.}\) Les auteurs considèrent une fonctionnelle \(F(g)= [\text{vol}(g)]^{4/n)- 1}\int_M \sigma_2(g)\,dv\) et notent \(Y(g_0)= \text{inf\,}F(g)\) sur les métriques \(g\in [g_0]\cap\Gamma^+_2\).
Etape 1: Si \(g_0\in \Gamma^+_2\) et \(n> 4\) le problème a une solution \(s_i\,Y(M,[g_0])< Y(S_n, g_{can})\).
Etape 2: \(S_i g_0\in\Gamma^+_2\), \(n> 8\) et le tenseur de Weyl \(W\neq 0\) alors \(Y(M,[g_0])< Y(S_n, g_{can})\). Pour l’étape 1, on déforme, la métrique de départ par une équation parabolique.
Pour l’étape 2, il s’agit de mettre en évidence une métrique \(\widetilde g\in [g_0]\cap \Gamma^+_2\) telle que \(\Gamma(\widetilde g)< Y(S_n)\) sous l’hypothese nécessaire \(W\neq 0\) partout. Ceci est réalisé pour \(n> 8\). Ce problème est beaucoup étudié, pour \(\sigma_s\) il s’agit du problème de Yamabe dans le cas positif. A. Li et Y. Y. Li ont résolu le problème pour tout \(k\) lorsque la variété est localement conformément plate.
Le théorème principal est: Si \(g_0\in\Gamma^+_q\), si la dimension \(n> 8\) et si la variété n’est pas localement conformement plate, alors if existe \(g\in[g_0]\) avec \(\sigma_2([g])=\text{const.}\) Les auteurs considèrent une fonctionnelle \(F(g)= [\text{vol}(g)]^{4/n)- 1}\int_M \sigma_2(g)\,dv\) et notent \(Y(g_0)= \text{inf\,}F(g)\) sur les métriques \(g\in [g_0]\cap\Gamma^+_2\).
Etape 1: Si \(g_0\in \Gamma^+_2\) et \(n> 4\) le problème a une solution \(s_i\,Y(M,[g_0])< Y(S_n, g_{can})\).
Etape 2: \(S_i g_0\in\Gamma^+_2\), \(n> 8\) et le tenseur de Weyl \(W\neq 0\) alors \(Y(M,[g_0])< Y(S_n, g_{can})\). Pour l’étape 1, on déforme, la métrique de départ par une équation parabolique.
Pour l’étape 2, il s’agit de mettre en évidence une métrique \(\widetilde g\in [g_0]\cap \Gamma^+_2\) telle que \(\Gamma(\widetilde g)< Y(S_n)\) sous l’hypothese nécessaire \(W\neq 0\) partout. Ceci est réalisé pour \(n> 8\). Ce problème est beaucoup étudié, pour \(\sigma_s\) il s’agit du problème de Yamabe dans le cas positif. A. Li et Y. Y. Li ont résolu le problème pour tout \(k\) lorsque la variété est localement conformément plate.
Reviewer: Thierry Aubin (Paris)
MSC:
| 53C21 | Methods of global Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions |
Keywords:
Schouten tensor; conformal metrics; \(\sigma_k\)-Yamabe problem; fully nonlinear elliptic equationReferences:
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