Гаусснинг энг кам чеклаш принсипи

Энг кам чеклаш принсипи 1829 йилда Карл Фридрих Гаусс томонидан таъкидланган классик механиканинг бир вариацион формуласи бўлиб, аналитик механиканинг барча бошқа формулаларига тенгдир. Интуитив равишда, у чекланган жисмоний тизимнинг тезлашиши мос келадиган чекланмаган тизимнинг тезлашишига имкон қадар ўхшашлигини айтади^[1].

Баёнот

Энг кам чеклаш принсипи энг кичик квадратлар принсипи бўлиб, механик тизимнинг ҳақиқий тезланишини кўрсатади. ${\displaystyle n}$ массалар миқдорнинг минималидир:

${\displaystyle Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

бу ерда ж заррача массага эга ${\displaystyle m_{j}}$, позиция вектори ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$, ва чекланмаган куч қўлланади ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ массага таъсир қилади.

Белгилаш ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ вектор функсиянинг вақт ҳосиласини кўрсатади ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, яъни позиция. Тегишли тезланишлар ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$ умуман тизимнинг жорий ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$ ҳолатига боғлиқ бўлган чекловларни қондириш;

Фаоллиги туфайли эсга олинади ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ ва реактив (чеклов) ${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$ қўлланадиган кучлар, натижада ${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$, тизим тезлашувни бошдан кечиради ${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$ .

Гаусс принсипи Д’Алембер принсипига тенг.

Энг кам чеклаш принсипи Гамилтон принсипига сифат жиҳатидан ўхшаш бўлиб, у механик тизим томонидан босиб ўтилган ҳақиқий йўл ҳаракатнинг экстремуми эканлигини айтади. Бироқ, Гаусс принсипи ҳақиқий (маҳаллий) минимал принсипдир, иккинчиси эса экстремал принсипдир.

Ҳертзнинг энг кам эгрилик принсипи Гаусс принсипининг алоҳида ҳолати бўлиб, ташқи қўлланадиган кучлар, ўзаро таъсирлар (одатда потенсиал энергия сифатида ифодаланиши мумкин) ва барча массалар тенг бўлган иккита шарт билан чекланган. Умумийликни йўқотмасдан, массалар бирга тенг бўлиши мумкин. Бундай шароитда Гаусснинг минималлаштирилган миқдори ёзилиши мумкин:

${\displaystyle Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

Кинетик энергия ${\displaystyle T}$ бу шароитда ҳам сақланиб қолади:

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

Чизиқ элементидан ${\displaystyle ds^{2}}$ бери ичида ${\displaystyle 3N}$ -координаталарнинг ўлчовли фазоси аниқланган

${\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

энергиянинг сақланиши ҳам ёзилиши мумкин:

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}$

${\displaystyle Z}$ томонидан бўлиниш ${\displaystyle 2T}$ ва бошқа минимал миқдорни беради:

${\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}$

бери ${\displaystyle {\sqrt {K}}}$ да траэкториянинг маҳаллий эгрилигидир ${\displaystyle 3n}$ -координаталарнинг ўлчовли фазоси, минималлаштириш ${\displaystyle K}$ чекловларга мос келадиган энг кам эгрилик (геодезик) траэкториясини топишга тенг.

Ҳертз принсипи, шунингдек, Якобининг энг кам таъсир принсипини шакллантиришининг алоҳида ҳолатидир.

• Гаусс, C. Ф. (1829). "Üбер эин неуэс аллгемеинес Грундгесетз дер Мечаник". Cрелле'с Жоурнал 1829 (4): 232–235. дои:10.1515/crll.1829.4.232. https://zenodo.org/record/1448816. 
• Гаусс, C. Ф.. Wерке — 23-бет. 
• Ҳертз, Ҳ.. Принcиплес оф Мечаниcс, Мисcелланеоус Паперс. Маcмиллан, 1896. 
• Ланcзос, Cорнелиус „ИВ §8 Гаусс'с принcипле оф леаст cонстраинт“, . Тҳе вариатионал принcиплес оф мечаниcс, Репринт оф Университй оф Торонто 1970 4тҳ, Cоуриэр Довер, 1986 — 106–110-бет. ИСБН 978-0-486-65067-8. 
• Папаставридис, Жоҳн Г. „6.6 Тҳе Принcипле оф Гаусс (эхтенсиве треатмент)“, . Аналйтиcал мечаниcс: А cомпреҳенсиве треатисе он тҳе дйнамиcс оф cонстраинед сйстемс, Репринт, Сингапоре, Ҳаcкенсаcк НЖ, Лондон: Wорлд Сcиэнтифиc Публишинг Cо. Пте. Лтд., 2014 — 911–930-бет. ИСБН 978-981-4338-71-4.