Mehanska napetost

Pojem mehanske napetosti je v mehaniko kontinuumov uvedel Cauchy okoli leta 1822. Cauchy je tudi matematično obdelal mehanske napetosti. V preprostem primeru je telo enoosno obremenjeno, na primer prizmatična palica z nateznimi ali tlačnimi napetostmi s silo, ki poteka skozi njeno (vzdolžno, glavno) os, tako da je napetost ${\displaystyle \sigma \,}$  dana kot količnik sile ${\displaystyle F\,}$  in površine (začetnega) preseka palice ${\displaystyle S_{0}\,}$  po Hookovem zakonu:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S_{0}}}\!\,.}$ 

V tem primeru je napetost ${\displaystyle \sigma \,}$  podana kot skalar in se imenuje mehanska ali imenska napetost. Predstavlja povprečno vrednost napetosti po površini preseka, in je enakomerno porazdeljena. V splošnem pa napetost po preseku telesa ni enakomerno razporejena, tako da je napetost v točki dane površine različna od povprečne vrednosti napetosti po celotni površini. Po Cauchyju je napetost v poljubni točki v telesu, za katerega predpostavimo da je kontinuum - zvezno nepretrgano sredstvo, popolnoma določena z devetimi komponentami simetričnega tenzorja 2. reda ${\displaystyle \sigma _{ij}\,}$ , ki je znan kot Cauchyjev ali kartezični napetostni tenzor (tenzor napetosti). V kartezičnem koordinatnem sistemu lahko napetostni tenzor zapišemo kot matriko 3×3:

${\displaystyle {\underline {\sigma }}\equiv \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\!\,,}$ 

kjer so ${\displaystyle \sigma _{xx}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{yy}\,}$  in ${\displaystyle \sigma _{zz}\,}$  normalne napetosti, ${\displaystyle \sigma _{xy}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{xz}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{yx}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{yz}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{zx}\,}$  in ${\displaystyle \sigma _{zy}\,}$  pa strižne napetosti.

Prvi indeks i označuje, da komponenta napetosti deluje na ravnino, ki je pravokotna na os ${\displaystyle x_{i}\,}$ , drugi indeks j .pa naznačuje smer v kateri deluje komponenta napetosti. Komponenta napetosti je pozitivna, če deluje v pozitivni smeri koordinatnih osi, in če ima ravnina, v kateri deluje, normalni vektor, ki kaže navzven v pozitivni koordinatni smeri.

V statičnem ravnovesju se navori izenačijo, zato je matrika diagonalna in velja ${\displaystyle \sigma _{xy}=\sigma _{yx}}$ , ${\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{zx}}$  in ${\displaystyle \sigma _{yz}=\sigma _{zy}}$ , Cauchyjev napetostni tenzor pa je zato simetričen ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,}$ .

Za Cauchyjev napetostni tenzor veljajo tenzorske transformacije pri spremembah koordinatnega sistema. Uporablja se pri telesih, ki se deformirajo v majhni meri. Za večje deformacije so potrebni drugi pokazatelji napetosti, na primer: prvi in drugi Piola-Kirchhoffov, Biotov in Kirchhoffov napetostni tenzor.

Napetostno stanje v točki v treh razsežnostih je lahko podano tudi z glavnimi napetostmi ${\displaystyle \sigma _{1}\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{2}\,}$  in ${\displaystyle \sigma _{3}\,}$ , ki so lastne vrednosti napetostnega tenzorja, in rešitve njegove kubične karakteristične enačbe.

•   Predstavnosti o temi mehanska napetost v Wikimedijini zbirki