On the multiplicity of eigenvalues of conformally covariant operators
Y Canzani�- Annales de l'Institut Fourier, 2014 - numdam.org
Annales de l'Institut Fourier, 2014•numdam.org
Let (M, g) be a compact Riemannian manifold and Pg an elliptic, formally self-adjoint,
conformally covariant operator of order m acting on smooth sections of a bundle over M. We
prove that if Pg has no rigid eigenspaces (see Definition 2.2), the set of functions f∈ C∞(M,
R) for which Pef g has only simple non-zero eigenvalues is a residual set in C∞(M, R). As a
consequence we prove that if Pg has no rigid eigenspaces for a dense set of metrics, then
all non-zero eigenvalues are simple for a residual set of metrics in the C∞-topology. We�…
conformally covariant operator of order m acting on smooth sections of a bundle over M. We
prove that if Pg has no rigid eigenspaces (see Definition 2.2), the set of functions f∈ C∞(M,
R) for which Pef g has only simple non-zero eigenvalues is a residual set in C∞(M, R). As a
consequence we prove that if Pg has no rigid eigenspaces for a dense set of metrics, then
all non-zero eigenvalues are simple for a residual set of metrics in the C∞-topology. We�…
Resume
Soit (M, g) une vari�t� riemannienne et Pg un op�rateur elliptique, auto-adjoint, covariant conforme d’ordre m agissant sur les sections lisses d’un fibr� sur M. Nous montrons que si Pg n’admet pas d’espaces propres rigides (voir D�finition 2.2), l’ensemble des fonctionsf∈ C∞(M, R) pour lesquelles Pef g n’admet que des valeurs propres non nulles est un ensemble r�siduel dans C∞(M, R). Ce r�sultat a comme cons�quence que si Pg n’admet pas d’espaces propres rigides pour un ensemble dense de m�triques, alors toutes les valeurs propres non nulles sont simples pour un ensemble r�siduel de m�triques dans la topologie C∞. Nous montrons �galement que les valeurs propres de Pg dependent contin�ment de g dans la topologie C∞ si Pg est fortement elliptique. Comme applications de nos r�sultats, nous montrons que si Pg agit sur C∞(M), comme dans le cas des op�rateurs GJMS, alors les valeurs propres non-nulles de cet op�rateur sont g�n�riquement simples.
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