Sistema de numeração hexadecimal

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Posicionais 5 10 15 20 2 4 8 16 32 64 3 6 9 12 24 30 36 60 1 7 13 26
v d e

O sistema hexadecimal é um sistema de numeração posicional que representa os números em base 16, portanto empregando 16 símbolos.

Está vinculado a informática, pois os computadores costumam utilizar o byte ou octeto como unidade básica da memória; e, devido a um byte representar ${\displaystyle 2^{8}=256}$ valores possíveis, e isto pode representar-se como ${\displaystyle 2^{8}=2^{4}\cdot 2^{4}=16\cdot 16=1\cdot 16^{2}+0\cdot 16^{1}+0\cdot 16^{0}}$, o que, segundo o teorema geral da numeração posicional, equivale ao número em base 16 ${\displaystyle 100_{16}}$, dois dígitos hexadecimais correspondem exactamente —permitem representar a mesma linha de inteiros— a um byte.

Ele é muito utilizado para representar números binários de uma forma mais compacta, pois é muito fácil converter binários pra hexadecimal e vice-versa. Dessa forma, esse sistema é bastante utilizado em aplicações de computadores e microprocessadores (programação, impressão e displays).

Devido ao sistema decimal geralmente usado para a numeração apenas dispor de dez símbolos, deve-se incluir seis letras adicionais para completar o sistema. O conjunto de símbolos fica, portanto, assim

${\displaystyle S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} \}}$

Assim como nos outros sistemas numéricos, após o uso de todos os dígitos hexadecimais, se inicia a repetição com a adição de outro dígito: (...) 8, 9,A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15), ... Pode parecer pouca a diferença para os números decimais, porém esses 6 dígitos a mais fazem muita diferença. Por exemplo, com dois dígitos, em decimal, é possível fazer 100 combinações diferentes. Em hexadecimal, esse número sobe para 256.

Um dígito em hexadecimal pode representar um número binário de 4 dígitos, dessa forma, para transformar um binário em hexadecimal, separamos o binário em grupos de 4 bits, começando pela direita.

Exemplo:

Binário: 1101000101100011.

1º - separar em grupos de quatro bits:

1101 0001 0110 0011

2º - identificar os números hexadecimais correspondentes:

1101 = D
0001 = 1
0110 = 6
0011 = 3

Hexadecimal: D163.

É o inverso do processo anterior. Cada digito será transformado em um número binário de 4 bits.

Exemplo:

Hexadecimal: F2A7

F = 1111
2 = 0010
A = 1010
7 = 0111

Binário: 1111001010100111.

Ver-se-á um exemplo numérico para obter o valor de uma representação hexadecimal: 3E0A₍₁₆₎ = 3×16³ + E×16² + 0×16¹ + A×16⁰ = 3×4096  + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882

Exemplos para obter um número hexadecimal de um número decimal:

Divide-se o número decimal por 16. 
           
          85|_16
        - 80   5,3125  Pode-se perceber que contém vírgula nesta divisão,porém, utilizaremos 
          --           apenas o quociente (5) e resto da divisão antes da vírgula (5), 
          050          Não esquecendo de colocar o quociente primeiro e depois o resto.
         - 48          Decimal 85 = 55(hex)
           --
           020         79|_16       O número 79 também contêm vírgula. Pegamos 4  
          - 16       - 64   4,9375  e 15 que é igual a F.
            --         --           Decimal 79 = 4F(hex) 
            040        15
           - 32        .
             --        .
             080
            - 80
              --
               0

É possível realizar adições diretamente com números hexadecimais. Basta lembrar que os dígitos 0-9 equivalem aos mesmos em decimal, e que os dígitos a-f equivalem aos decimais 10-15. Assim como na soma de decimais, devemos começar pela direita.

1. Realize a soma por colunas, e pense nos valores decimais dos dígitos
2. Se a soma dos dígitos for menor que 15 (em decimal), registre o valor (em hexadecimal)
3. Se a soma dos dígitos for maior que 15, subtraia 16 do resultado, registre o numero hexadecimal e gere um carry na próxima coluna

Exemplo:

${\displaystyle DF+AC}$

${\displaystyle F+C=15+12=27}$

${\displaystyle 27-16=11=B}$

${\displaystyle D+A+1(carry)=13+10+1=24}$

${\displaystyle 24-16=8}$ com carry de 1. Então: ${\displaystyle DF+AC=18B}$

	0hex	=	0dec	=	0oct		0	0	0	0
	1hex	=	1dec	=	1oct		0	0	0	1
	2hex	=	2dec	=	2oct		0	0	1	0
	3hex	=	3dec	=	3oct		0	0	1	1
	4hex	=	4dec	=	4oct		0	1	0	0
	5hex	=	5dec	=	5oct		0	1	0	1
	6hex	=	6dec	=	6oct		0	1	1	0
	7hex	=	7dec	=	7oct		0	1	1	1
	8hex	=	8dec	=	10oct		1	0	0	0
	9hex	=	9dec	=	11oct		1	0	0	1
	Ahex	=	10dec	=	12oct		1	0	1	0
	Bhex	=	11dec	=	13oct		1	0	1	1
	Chex	=	12dec	=	14oct		1	1	0	0
	Dhex	=	13dec	=	15oct		1	1	0	1
	Ehex	=	14dec	=	16oct		1	1	1	0
	Fhex	=	15dec	=	17oct		1	1	1	1

As fracções, no seu desenvolvimento hexadecimal, não são exactas a menos que o denominador seja potência de 2. Contudo, os períodos não costumam ser muito complicados.

1/2 = 0,8

1/3 = 0,55...

1/4 = 0,4

1/5 = 0,33...

1/6 = 0,2AA...

1/7 = 0,249249...

1/8 = 0,2

1/9 = 0,1C1C...

1/A = 0,199...

1/B = 0,1745D1745D...

1/C = 0,155...

1/D = 0,13B13B...

1/E = 0,1249249...

1/F = 0,11...

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E	20
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D	30
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C	40
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B	50
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A	60
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69	70
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78	80
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87	90
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96	A0
B	0	B	16	21	2C	37	42	4E	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5	B0
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4	C0
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3	D0
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2	E0
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1	F0
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	C0	D0	E0	F0	100

Referências

• FLOYD, Thomas L. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2007. 888 p. + 2 CD-ROMs ISBN 9788560031931.

• Editor hexadecimal
• Sistema binário
• Sistema decimal
• Sistema octal
• Conversão entre sistemas numéricos
• Lista de cores em hexadecimal

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