Laplace-likninga

I eit smalt nok røyr (når bond-talet t.d. er lågt) med eit sirkelforma tverrsnitt med radius a, dannar grenseflata mellom to væsker ei konkavkonveks linse, som utgjer ein del av overflata til ein sfære med radius R. Trykkskilnaden over denne overflata er:

${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$ 

Det kan visast ved å skrive Young–Laplace-likninga på sylindrisk form med ein kontaktvinkel og ei referansehøgd som grensevilkår, til dømes botn av den konkavkonvekse linsa. Løysinga vert ein del av ein sfære, og løysinga vil berre eksistere for trykkskilnadane som er vist over. Dette er viktig fordi det ikkje finst ei anna likning eller lov som spesifiserer trykkskilnaden, vist ved at det for ein spesifikk trykkskilnad eksisterer ei løysing av likninga.

Radiusen til sfæren vil berre vere ein funksjon av kontaktvinkelen, θ, som igjen varierer med eigenskapane til væska og dei faste stoffa som væska er i kontakt med:

${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$ 

slik at trykkskilnaden kan skrivast:

${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$ 

For å oppretthalde hydrostatisk likevekt vert det induserte kapillartrykket balansert ved at høgda h til væska i røyret endrar seg. Høgda kan vere både positiv eller negativ, avhengig av om kontaktvinkelen er mindre eller større enn 90°. For ei væske med tettleik ρ:

${\displaystyle h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho ga}}.}$ .

— der g er tyngdeakselerasjonen. Dette vert stundom kalla Jurin-regelen eller Jurin-høgda^[3] etter James Jurin som studerte effekten i 1718.^[4]

For eit glasrøyr fylt med vatn og luft ved havnivå:

vert høgda på vassøyla gjeven ved:

${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}} \over a}}$  m.

Så for eit 2 mm breitt (radius 1 mm) røyr, vil vatnet stige 14 mm. For eit However, for a kapillarrøyr med radius 0,1 mm ville vatnet ha stige 14 cm.

I det generelle tilfellet, for ei fri overflate der finst eit påført «overtrykk», Δp, ved grenseflata i likevekt, finst det ein balanse mellom det påførte trykket, det hydrostatiske trykket og effekten av overflatespenning. Laplace-likninga vert då:

${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).}$ 

Likninga kan gjerast dimensjonslaus ved å uttrykke ho med den karakteristiske lengdeskalaen, kapillarlengda :

${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$ 

— og karakteristisk trykk:

${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$ 

For reint vatn ved standard temperatur og trykk er kapillarlengda −2 mm.

Den dimensjonslause likninga vert då:

${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$ 

Forma på overflata er dermed berre bunden av ein parameter. Overtrykket til væska, Δp^* og skalaen til overflata er gjevne ved kapillarlengda. Løysinga på likninga krev eit startvilkår for grenseflateforma og grenseflategradienten ved starttidspunktet.

Den (dimensjonslause) forma, r(z), til ei aksesymmetrisk flate kan finnast ved å byte ut dei generelle uttrykka for krumming for å gje den hydrostatiske Laplace-likninga^[5]:

${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$ 

${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {z'}{r{\sqrt {1+z'^{2}}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$ 

Innanfor medisin blir likninga ofte kalla lova til Laplace og blir bruka for å forklare fenomen innanfor lunge-, tarm- og kretsløpsfysiologi.

Her er det særleg i høve til det som skjer med dei små lungebærene, alveolane, i lungene ved einskilde lungesjukdommar kor likninga har forklaringskraft. Ein tenkjer seg kvar einskild alveole som ei rund gassfylt kule. Ved ein radius R og ei overflatespenning T får ein eit trykk P inne i kula^[6]:

${\displaystyle P={\frac {2\times T}{R}}}$ 

Ettersom overflatespenninga på dei fleste væsker, også vatn, er konstant, vil små lungeblærer ha eit høgare trykk inne i seg enn store. Ettersom lungeblærene heng saman vil difor små alveolar tømme seg inn i store og kollapse.

Når dette normalt ikkje skjer skuldast det m.a. at alveolene er kledd med surfaktant, eit såpeaktig stoff som senker overflatespenninga og verkar kraftigare inn dess mindre alveolane blir. At likninga til Laplace held stikk meiner ein syner seg ved surfaktant-mangel, t.d. respiratorisk distress syndrom kor lungene blir prega av vekselvis atelektasar (samanklapningar) og hyperinnflaterte (oppblåste) område.

Kritikarar av denne modellen meiner han ikkje tek nok omsyn til at alveolane ikkje er kuler, men mangekantar (polygon) med flate sider der dei ligg inntil kvarandre^[7].

Aneurismar er utposingar i pulsårene i kroppen. Dei kan oppstå på grunn av rifter eller medfødde misdanningar eller sjukdommar i åreveggen. Når dei først har starta vil dei gjerne vokse. Dette blir forklart ved at når utposinga startar aukar radiusen på karet. Då blir den krafta som er retta innover frå karveggen svekka, og aneurismet held fram med å vokse til det sprekk.^[8]

Lova til Laplace gjev ei forklaring på kvifor urinblæra ikkje bør bli for fylt, hos vaksne bør volumet ikkje gå over 400 - 500 ml. Blir blæra utvida for mykje blir spenninga i veggane for lite til effektiv tømming.^[9] Ein trur òg at mekanismane ein ser ved aneurismar i pulsårene òg gjeld ved divertiklar i tarmane.

• [Anon.] (1911) Capillary action, Encyclopedia Britannica
• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction To Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• James Jurin (1716). «An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of the ascent and suspension of water in capillary tubes» (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society 30: 739–747. 
• Tadros T. F. (1995) Surfactants in Agrochemicals, Surfactant Science series, vol.54, Dekker