Vavro begon te voetballen bij de jeugd MŠK Žilina. In 2013 maakte hij de overstap naar de eerste ploeg van Žilina. Op 20 april 2013 maakte Vavro zijn debuut in de Fortuna Liga in de met 1–2 gewonnen uitwedstrijd tegen AS Trenčín.[1] Eind augustus 2017 tekende Vavro een contract voor 5 seizoenen bij FC Kopenhagen.[2] Op 10 september 2017 maakte Vavro zijn debuut in de Superligaen in de met 4–3 gewonnen thuiswedstrijd tegen FC Midtjylland.[3]
Vavro doorliep verschillende nationale jeugdploegen. In voorbereiding van de wedstrijden tegen Oeganda en Zweden werd Vavro in januari 2017 door bondscoach Ján Kozák bij de nationale ploeg gehaald. Vavro maakte op 8 januari 2017 zijn debuut, speelde de volledige wedstrijd en wist in zijn eerste wedstrijd al een doelpunt te scoren.[4] Vavro werd op 7 juni 2024 door bondscoach Francesco Calzona opgenomen in de Slowaakse selectie voor het EK 2024 in Duitsland.[5] Slowakije eindigde als derde in een groep met Roemenië, België en Oekraïne, waarna het in de achtste finales na een verlenging met 2–1 verloor van Engeland. Vavro miste op het toernooi geen minuut aan speeltijd.