Izbash-formule

Izbash beschouwde de krachten op een steen in de stroming. Dit zijn drie actieve krachten en twee passieve krachten. De actieve krachten zijn de liftkracht F_L, de wrijvingskracht F_S en de sleepkracht F_D. De passieve krachten zijn het gewicht W en de weerstandskracht F_F. Als nu het momentenevenwicht rond punt A bekeken wordt, dan valt F_F weg (want de arm is nul). De actieve krachten kunnen uitgeschreven worden als:

${\displaystyle {\begin{matrix}F_{D}&={\frac {1}{2}}C_{D}\rho _{w}u^{2}A_{D}\\F_{S}&={\frac {1}{2}}C_{F}\rho _{w}u^{2}A_{S}\\F_{L}&={\frac {1}{2}}C_{L}\rho _{w}u^{2}A_{L}\end{matrix}}\quad {\Biggr ]}\quad F\sim \rho _{w}u^{2}d^{2}}$ 

De totale actieve kracht is dus evenredig met ρ_wu²d². De passieve kracht die overblijft is evenredig met (ρ_w−ρ_w)g²d³. En als dit aan elkaar gelijk gesteld wordt volgt daaruit u_c²=KΔgd. Deze formule is ook om te schrijven in de vorm zoals boven de bladzijde; de coëfficiënt is door metingen bepaald, en blijkt 1,7 te zijn.

Vraag: welke steengrootte is nodig om de bodem van een kanaal van 1 m diepte bij een gemiddelde stroomsnelheid van 2 m/s te verdedigen?

Dit kan eenvoudig bepaald worden door de formule iets om te schrijven en de waarden in te voeren. Echter, de Izbash-formule vraagt om de snelheid "nabij de steen", hetgeen niet goed gedefinieerd is. Praktisch kan hiervoor genomen worden een waarde van ca. 1× de steendiameter boven de beschermingslaag. Bij een normaal logaritmisch stromingsprofiel is dat ca 85% van de gemiddelde snelheid. Dat geeft dan een steendiameter van 6,3 cm (de formule van Shields geeft in dit geval 6,5 cm).

De formule gebruikt de snelheid nabij de steen. Met name bij gladde bodems en grotere waterdiepten is die niet goed te bepalen. In die gevallen heeft de formule van Shields de voorkeur.

Omdat de coëfficiënt 0,7 wel erg algemeen is heeft Pilarczyk rond 1985 de formule aangepast, waardoor er wat specifieker gerekend kan worden.^[2] Deze uitbreiding heeft de vorm:

${\displaystyle \Delta d=0{,}035{\frac {\Phi }{\Psi }}{\frac {K_{t}K_{h}}{K_{s}}}{\frac {u^{2}}{2g}}}$ 

waarin:

Φ = stabiliteitsparameter, past de formule aan voor verschillende types constructies:

• φ = 1,25 aan het einde van eend enkel laag steen
• φ = 1,0 aan het einde van een zinkstuk
• φ = 0,75 voor tweelaags steenconstructie
• φ = 0,50 voor doorgaande zinkstukken
• de meest conservatieve waarde is 1,5.

Ψ = De shieldsparameter, deze is voor breuksteen 0,035 en voor zetsteen 0,05

K_t = turbulentiefactor

• k_t = 0,67 voor laag-turbulente stroming
• k_t = 1,0 voor normale turbulentie
• k_t = 1,5 in rivierbochten
• k_t = 2,0 - 2,5 in scherpe rivierbochten (kromtestraal < 5 maal rivierbreedte)
• k_t = 3,0 bij hoge turbulentie (schroefstralen)
• k_t = 4,0 extreem hoge turbulentie (schroefstraal bij afgemeerde schepen)

K_h = dieptefactor

• meestal geldt ${\displaystyle K_{h}={\frac {2}{\log({\frac {12h}{Nd}})^{2}}}}$  waarin N tussen 1 en 3 ligt
• k_h voor een niet volledig ontwikkeld snelheidsprofiel: ${\displaystyle (1+{\frac {h}{d}})^{0{,}2}}$ 

K_s= steilheidsfactor

 

Het destabiliserende effect van een helling kan in twee componenten gesplitst worden. Dus K_s is gelijk aan onderstaande ${\displaystyle K(\alpha _{\parallel })}$  of aan ${\displaystyle K(\alpha )}$ .

In onderstaande uitleg is φ de helling van natuurlijk talud van het bodemmateriaal. Er is een component langs de helling (W sinα), waardoor het effectieve gewicht loodrecht op de helling minder wordt (Wcosα). Als de helling in dezelfde richting is als de stroming(figuur b) dan wordt de sterkte F(α_loodrecht) = Wcosα tanφ - Wsinα (Opmerking: als de stroming de andere kant op is, is de steen stabieler en is F=Wcosα tanφ+ Wsinα.) Het verband tussen F(α) en F(0) geeft de reductiefactor voor de sterkte:

${\displaystyle K(\alpha _{\parallel })={\frac {F(\alpha _{\parallel })}{F(0)}}={\frac {W\cos \alpha \tan \phi -W\sin \alpha }{W\tan \phi }}={\frac {\sin(\phi -\alpha )}{\sin \phi }}}$ 

Voor een dwarshelling onder een hoek α kan dezelfde procedure gevolgd worden, zie figuur c. maar nu moeten de componenten als vectoren opgeteld worden.

${\displaystyle K(\alpha )={\frac {F(\alpha )}{F(0)}}={\sqrt {\frac {\cos ^{2}\alpha \tan ^{2}\phi -\sin ^{2}\alpha }{\tan ^{2}\phi }}}={\sqrt {1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\phi }}}}}$ 

In figuur d zijn beide reductiefactoren weergegeven voor een waarde van φ=40 graden.

Doordat in deze versie van de Izbash-formule een dieptefactor K_h is opgenomen, kan voor de snelheid de gemiddelde snelheid boven de stenen genomen worden, bij de oorspronkelijke Izbash formule was dat de snelheid "nabij de steen", wat niet goed gedefinieerd was.

Turbulentie heeft ook een groot effect op de stabiliteit. Turbulente wervels geven lokaal een grote snelheid bij de steen, waardoor er aan de ene kant wel, en aan de andere kant geen liftkracht is. Hierdoor wordt de steen als het ware uit het bed gewipt. Zie ook de detailopname. In dit voorbeeld ligt de steen op de coördinaat (0,0). Aan de linkerkant is een relatieve snelheid, dus een liftkracht omhoog, aan de rechterkant is geen relatieve snelheid, dus geen liftkracht. Er werkt dus een rechtsdraaiend moment op de steen waardoor hij er (samen met de normale liftkracht van de hoofdstroom) uitgedraaid wordt. Dit laat zien waarom bij een bepaalde snelheid niet alle stenen direct gaan bewegen, maar pas als er een "passende" wervel langs komt.

Deze figuren zijn metingen van de stroomsnelheid in een verticaal vlak boven een steen. De stroomsnelheid is van links naar rechts. Weergegeven is de snelheid na aftrek van de gemiddelde snelheid, dus feitelijk de u' en de v ' (zie voor uitleg hiervan het lemma over turbulente stroming.

Het effect van turbulentie op de stabiliteit is dus vooral groot als de maat van de turbulente wervels in de zelfde orde van grootte ligt als de maat van de steen.

Het is mogelijk om de Izbash-formule aan te passen zodat meer expliciet rekening gehouden kan worden met het effect van turbulentie^[4] Een steen op de bodem gaat pas bewegen als de totale snelheid (dus de gemiddelde snelheid plus de extra snelheid door de turbulente wervel) een bepaalde waarde overschrijden. Uit onderzoek is gebleken dat deze extreme snelheid ongeveer ${\displaystyle {\overline {u}}+3\sigma =(1+3r){\overline {u}}}$  is, waarbij ${\displaystyle \sigma }$  de standaardafwijking van de snelheid is, en r de relatieve turbulentie is. In de oorspronkelijke Izbash-formule bevat de coefficient 1,7 een deel wat verantwoordelijk is voor de turbulentie. De Izbash-formule is te herschrijven als:

${\displaystyle \Delta d=0{,}7{\frac {u^{2}}{2g}}=c_{iz}{\frac {\left[u(1+3r)\right]^{2}}{2g}}}$ 

Voor turbulentie veroorzaakt door de bodemruwheid kan men een waarde voor de relatieve turbulentie aannemen van r=0,075, wat ingevuld in bovenstaande formule leidt tot c_iz=0,47. Hierdoor ontstaat een Izbash-formule met een expliciete parameter voor de tubulentie:

${\displaystyle \Delta d=0{,}47{\frac {\left[u(1+3r)\right]^{2}}{2g}}}$ 

Hierdoor is het mogelijk om de Izbash-formule dus ook te gebruiken in die gevallen waarbij de turbulentie niet uitsluitend door de bodemruwheid ontstaat, bijvoorbeeld bij schepen en scheepsschroeven. Bij schepen die in een (smal) kanaal varen is er langs het schip een sterke retourstroom met vergrote turbulentie. De waarde van de relatieve turbulentie is in dit geval r = 0,2. ^[5] Voor de turbulentie ten gevolge van een schroefstraal wordt geadviseerd r = 0,45.^[5] Omdat de relatieve turbulentie kwadratisch in de formule zit, is het duidelijk dat in het geval van een schroefstraal een aanmerkelijk zwaardere bestorting nodig is dan in geval van "normale" stroming.

Voor "niet-standaard" gevallen is met een turbulentie model, bijv. een k-epsilon model de waarde van r te berekenen. Deze kan dan in bovengenoemde aangepaste Izbash-formule ingevoerd worden om de benodigde steengrootte te bepalen.