Test Z

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Il test Z (o, dall'inglese, Z-test) è un test statistico di tipo parametrico con lo scopo di verificare se il valore medio di una distribuzione si discosta significativamente da un certo valore di riferimento.

Il test Z bilatero si utilizza nei casi in cui si intende verificare l'ipotesi che il valore medio di una popolazione non si discosti significativamente da un certo valore costante μ₀.

Quando – nell'indagine campionaria – si vuole valutare l'ipotesi nulla:

${\displaystyle \displaystyle H_{0}:\mu =\mu _{0}}$

contro l'ipotesi alternativa bidirezionale:

${\displaystyle H_{1}:\mu \neq \mu _{0}\ }$

al livello di significatività α, si considera la statistica test:

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}},}$

dove

${\displaystyle {\overline {X}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}$

è la v.c. media campionaria. Questa è distribuita normalmente se la popolazione è normale; se invece la popolazione non è normale, per il teorema centrale del limite si può comunque affermare che la media campionaria tenda alla normalità per n tendente a infinito, e quindi si può ben approssimare ad una distribuzione normale per valori di n elevati. Standardizzando rispetto a μ₀ si ottiene la normale standard di media 0 e varianza 1.

Per il test consideriamo una realizzazione campionaria della statistica ottenuta a partire dai dati campionari. Nota la dimensione campionaria n e la deviazione standard σ, la regione di rifiuto del test è costituita da quei valori della z empirica tali che:

${\displaystyle P\left(z<-z_{\alpha /2}{\text{ oppure }}z>z_{\alpha /2}\right)=\alpha .}$

Quindi se ${\displaystyle \displaystyle |z|>z_{\alpha /2}}$, siamo nella regione di rifiuto e vale H₁.

Quindi, con una probabilità di errore α (errore di prima specie), la media di universo è diversa dal valore medio ipotizzato.

Se, come spesso accade nella realtà, non si conosce la varianza σ² della popolazione, la si stima su base campionaria con lo stimatore varianza corretta del campione, ovvero la varianza campionaria:

${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}$,

la cui realizzazione campionaria è la stima della varianza di universo.

In questo caso il test non si chiama più test z, ma test t perché la distribuzione di probabilità della statistica test è una T di Student con n − 1 gradi di libertà. La verifica d'ipotesi è analoga al test z (si confronta la t empirica con il quantile di ordine α/2 delle T a n − 1 gradi di libertà).

• Test t
• Distribuzione normale

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