Trasformazione di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897.^[1] Già dieci anni prima (1887), però, Woldemar Voigt aveva pubblicato delle trasformazioni che differivano solo per un fattore di Lorentz, ma che esibivano tutte le principali caratteristiche della relatività ristretta, con l'unico difetto di non formare un gruppo.^[2][3][4] Nel 1905, Henri Poincaré, il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz credeva nell'ipotesi dell'etere luminifero; solo Albert Einstein, sviluppando la teoria della relatività ristretta, diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

Una trasformazione di Lorentz è una trasformazione lineare tale per cui, a partire dalle coordinate di un evento nello spaziotempo nel sistema di riferimento cartesiano inerziale ${\displaystyle S(t,x,y,z)}$ , si ricavano le coordinate rispetto ad un analogo sistema di riferimento ${\displaystyle S'(t',x',y',z')}$  che si muove di moto uniforme rispetto al primo.

L'insieme di tutte le trasformazioni di Lorentz forma un gruppo, il gruppo di Lorentz, anche detto gruppo di Lorentz omogeneo. Si tratta di un sottogruppo del gruppo di Poincaré. Dalle leggi di trasformazione di Lorentz è possibile dimostrare che l'intervallo:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$ 

rimane invariato in seguito ad una trasformazione di Lorentz.^[5] Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato ${\displaystyle ds^{2}}$  è il gruppo di Lorentz.

Il gruppo di Poincaré, anche detto gruppo di Lorentz non omogeneo, corrisponde all'insieme di trasformazioni che lasciano invariato l'intervallo:

${\displaystyle ds^{2}(x,y)=(x_{0}-y_{0})^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}$ 

Le quantità che si conservano in seguito alle trasformazioni del gruppo di Lorentz sono dette covarianti. Le equazioni che descrivono i fenomeni naturali sono covarianti.^[6]

Nella configurazione detta configurazione standard si assume che ${\displaystyle S'}$  abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di ${\displaystyle S}$ , che il sistema ${\displaystyle S'}$  si muova con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$  lungo l'asse ${\displaystyle x}$  di ${\displaystyle S}$  e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per ${\displaystyle t'=t=0}$ . In tale contesto le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:^[7]

${\displaystyle {\begin{cases}t'=\displaystyle \gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$ 

dove:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ 

è chiamato fattore di Lorentz, mentre ${\displaystyle c}$  è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il quadrivettore:

${\displaystyle x^{\mu }={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse attraverso una relazione matriciale:

${\displaystyle x'^{\nu }=\Lambda ^{\nu }{}_{\mu }x^{\mu }}$ 

dove ${\displaystyle \Lambda }$  è la matrice di trasformazione relativa alle trasformazioni in configurazione standard lungo ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è in direzione ${\displaystyle x}$ . Le trasformazioni ${\displaystyle \Lambda }$  con ${\displaystyle \det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=+1}$  appartengono al gruppo proprio di Lorentz, che è formato dai boost e dalle rotazioni spaziali, mentre quelle con ${\displaystyle \det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=-1}$  sono dette trasformazioni improprie di Lorentz, e non formano un gruppo. Queste ultime includono riflessioni spaziali e/o temporali tali da alterare la parità del sistema dei quattro assi di riferimento. Nel programma di Erlangen, lo spazio di Minkowski può essere visto come la geometria definita dal gruppo di Poincarè che combina le trasformazioni di Lorentz con le traslazioni.

Una trasformazione di Lorentz può essere esposta in una forma equivalente definendo il parametro ${\displaystyle \phi }$ , detto rapidità, tale che:

${\displaystyle e^{\phi }=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}$ 

Si ha:

${\displaystyle e^{-\phi }=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}}$ 

e in modo equivalente:

${\displaystyle \phi =\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]}$ 

La trasformazione di Lorentz in configurazione standard diventa pertanto la seguente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&ct-x=e^{-\phi }(ct'-x')\\&ct+x=e^{\phi }(ct'+x')\\&y=y'\\&z=z'\end{aligned}}}$ 

o equivalentemente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&ct={1 \over 2}(e^{\phi }(ct'+x')+e^{-\phi }(ct'-x'))\\&x={1 \over 2}(e^{\phi }(ct'+x')-e^{-\phi }(ct'-x'))\\&y=y'\\&z=z'\end{aligned}}}$ 

Dalle espressioni di ${\displaystyle e^{\phi }}$  ed ${\displaystyle e^{-\phi }}$  si ha:

${\displaystyle \gamma =\cosh \phi ={e^{\phi }+e^{-\phi } \over 2}}$ 

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over 2}}$ 

e quindi:

${\displaystyle \beta =\tanh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over e^{\phi }+e^{-\phi }}}$ 

Sostituendo nella forma matriciale della trasformazione:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

Una trasformazione di Lorentz può essere pertanto vista come una rotazione iperbolica delle coordinate nello spazio di Minkowski, in cui il parametro ${\displaystyle \phi }$  rappresenta l'angolo iperbolico di rotazione.

Le trasformazioni tra due sistemi che traslano lungo gli assi ${\displaystyle y}$  o ${\displaystyle z}$  sono analoghe al caso standard. In direzione ${\displaystyle y}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}y\right)\\x'&=x\\y'&=\gamma \left(y-vt\right)\\z'&=z\end{aligned}}}$ 

che si può scrivere sinteticamente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&-\beta \gamma &0\\0&1&0&0\\-\beta \gamma &0&\gamma &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è in direzione ${\displaystyle y}$ . In direzione ${\displaystyle z}$  si ha, analogamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}z\right)\\x'&=x\\y'&=y\\z'&=\gamma \left(z-vt\right)\\\end{aligned}}}$ 

che si può scrivere sinteticamente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$  sono in direzione ${\displaystyle z}$ .

Le trasformazioni di Lorentz sono spesso denotate con ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$  e valgono per ogni generico quadrivettore ${\displaystyle \mathbf {X} }$ :^[8]

${\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(v)\mathbf {X} }$ 

Per una trasformazione in una direzione arbitraria tra due sistemi con assi paralleli ed origini coincidenti nello spaziotempo è conveniente scomporre il vettore spaziale ${\displaystyle \mathbf {r} }$  in due componenti, rispettivamente perpendicolari e parallele alla velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ :

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}}$ 

Si osserva che solo la componente ${\displaystyle \mathbf {r} _{\|}}$  nella direzione di ${\displaystyle \mathbf {v} }$  viene deformata dal fattore ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle {\begin{cases}t'=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r'} =\mathbf {r} _{\perp }+\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\end{cases}}}$ 

La seconda espressione può essere riscritta come:

${\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {v} }$ 

Tale espressione non contempla la rotazione degli assi, e pertanto non identifica la trasformazione di Lorentz più generale.

Tale trasformazione può essere espressa utilizzando una matrice a blocchi:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }\\-\gamma {\boldsymbol {\beta }}&\mathbf {I} +(\gamma -1){\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }/\beta ^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {I} }$  è la matrice identica, ${\displaystyle \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$  è la velocità relativa in unità di c espressa come vettore colonna:

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}}$ 

mentre ${\displaystyle \mathbf {\beta } ^{T}={\frac {\mathbf {v} ^{T}}{c}}}$  è la sua trasposta, un vettore riga:

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }={\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }}{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}&\beta _{y}&\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{bmatrix}}}$ 

con ${\displaystyle \beta }$  il modulo di ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$ :

${\displaystyle \beta =|{\boldsymbol {\beta }}|={\sqrt {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}+\beta _{z}^{2}}}}$ 

Esplicitamente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \,\beta _{x}&-\gamma \,\beta _{y}&-\gamma \,\beta _{z}\\-\gamma \,\beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

La trasformazione può essere scritta in modo analogo al precedente:

${\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(\mathbf {v} )\mathbf {X} }$ 

ed ha la seguente struttura matriciale:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Lambda _{00}&\Lambda _{01}&\Lambda _{02}&\Lambda _{03}\\\Lambda _{10}&\Lambda _{11}&\Lambda _{12}&\Lambda _{13}\\\Lambda _{20}&\Lambda _{21}&\Lambda _{22}&\Lambda _{23}\\\Lambda _{30}&\Lambda _{31}&\Lambda _{32}&\Lambda _{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

le cui componenti sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma \\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i}\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij}\\\end{aligned}}}$ 

dove ${\displaystyle \delta _{ij}}$  è la delta di Kronecker.

Per mettere in relazione le componenti parallele e perpendicolari di ${\displaystyle \mathbf {r} }$  rispetto alla velocità di traslazione dei sistemi di riferimento, si considera la trasformazione per ${\displaystyle \mathbf {r} }$ :

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\parallel }'+\mathbf {r} _{\bot }'=\gamma \left(\mathbf {r} _{\parallel }-\mathbf {v} t\right)+\mathbf {r} _{\bot }}$ 

aggiungendo ${\displaystyle \scriptstyle 0=\gamma \mathbf {r} _{\bot }-\gamma \mathbf {r} _{\bot }}$  per eliminare ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \mathbf {r} _{\parallel }}$  si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=(\gamma \mathbf {r} _{\parallel }{\color {Violet}+\gamma \mathbf {r} _{\bot }})-\gamma \mathbf {v} t+\mathbf {r} _{\bot }{\color {Violet}-\gamma \mathbf {r} _{\bot }}\\&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }\\\end{aligned}}}$ 

Aggiungendo poi ${\displaystyle \scriptstyle 0=(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }-(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}$  per eliminare ${\displaystyle \scriptstyle (1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+[(1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }{\color {Violet}+(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}]{\color {Violet}-(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}\\&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(1-\gamma )\mathbf {r} +(\gamma -1)\mathbf {r} _{\parallel }\\\end{aligned}}}$ 

e dal momento che ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} _{\parallel }}$  e ${\displaystyle \mathbf {r} }$  sono parallele si ha:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=r_{\parallel }{\dfrac {\mathbf {v} }{v}}=\left({\dfrac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v}}\right){\frac {\mathbf {v} }{v}}}$ 

In tale relazione ${\displaystyle \mathbf {v} \over v}$  è un vettore unitario adimensionale che ha la stessa direzione di ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} _{\parallel }}$ , e pertanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+{\frac {(\gamma -1)\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v^{2}}}\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} -\gamma t\right)\mathbf {v} \\\end{aligned}}}$ 

Tale metodo è valido per qualsiasi trasformazione di Lorentz scritta in modo analogo.

Infine, se imponiamo che gli assi non siano paralleli e che al tempo ${\displaystyle t=t'=0}$  le origini dei due sistemi non siano coincidenti, otteniamo le più generali trasformazioni di Lorentz non omogenee (dette trasformazioni di Poincaré):

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\vec {r}}'=R{\vec {r}}+\left[\left(\gamma -1\right){\frac {{\vec {v}}\cdot R{\vec {r}}}{v^{2}}}-\gamma t\right]{\vec {v}}+{\vec {r}}_{0}\\\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot R{\vec {r}}}{c^{2}}}\right)+t_{0}\end{cases}}}$ 

dove

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}{\hat {i}}\cdot {\hat {i}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {i}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {i}}'\\{\hat {i}}\cdot {\hat {j}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {j}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {j}}'\\{\hat {i}}\cdot {\hat {k}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {k}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {k}}'\end{pmatrix}}}$ 

è la matrice della rotazione del sistema.

La composizione di più boost, ovvero la composizione di due trasformazioni fra due sistemi inerziali in moto relativo uniforme, non produce soltanto un boost, ma anche una rotazione. La trasformazione di Lorentz più generale, pertanto, contiene la possibilità di una rotazione degli assi, detta rotazione di Thomas. Se una successione di boost consente all'origine di una successione di sistemi inerziali di ritornare al punto di partenza, allora l'insieme delle rotazioni di Thomas produce una rotazione complessiva detta precessione di Thomas.^[9]

La composizione di due boost ${\displaystyle B(\mathbf {u} )}$  e ${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$  rispettivamente caratterizzati dalle velocità ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , è data da:^[10][11]

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B\left(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \right)\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]=\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]B\left(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \right)}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }$  è la composizione delle velocità e ${\displaystyle \mathrm {Gyr} }$  la rotazione derivante da tale composizione. Se ${\displaystyle \mathrm {Gyr} }$  è la matrice 3 × 3 associata alla rotazione delle coordinate spaziali, allora la matrice di rotazione per le quattro coordinate è data da:

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$ 

La composizione di due trasformazioni di Lorentz generiche ${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)}$  e ${\displaystyle L(\mathbf {u} ,V)}$  che includa le rotazioni ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle V}$  è data da:

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {u} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$ 

dove ${\displaystyle \mathrm {gyr} }$  è la precessione di Thomas giroscopica, definita come una operatore della velocità ${\displaystyle \mathbf {w} }$  nel seguente modo:

${\displaystyle {\text{gyr}}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {w} }$ 

Nella teoria galileiana, come in quella newtoniana, la velocità della luce ha un valore infinito ${\displaystyle c=\infty }$  e tutte le interazioni avvengono in un tempo istantaneo. Per qualsiasi modulo di velocità di movimento relativo ${\displaystyle v}$  tra riferimenti inerziali dunque il rapporto tra tale modulo e la velocità della luce è ${\displaystyle \lim _{c\to \infty }{\frac {v}{c}}=0\ \ \forall v\in \mathbb {R^{+}} }$ , e le trasformazioni si possono ricondurre a quelle di Galileo:

${\displaystyle {\begin{cases}t'=t\\x'=\left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$ 

Infatti se bastasse considerare velocità ${\displaystyle v\ll c}$  allora potrei sviluppare ${\displaystyle \gamma \sim 1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$ , ragionamento valido nella teoria di Einstein. Invece nella teoria di Galileo le trasformazioni non sono approssimazioni ma forme esatte. Difatti nella teoria galileiana il tempo è pantopico.^[12]

In questo senso la teoria galileiana rappresenta un caso particolare della teoria einsteniana. Questo spiega perché effetti relativistici significativi di dilatazione/contrazione dei tempi e degli spazi nella teoria galileiana non sono contemplati.

• (EN) Albert Einstein, Relativity: The Special and the General Theory, New York, Three Rivers Press, 1995, ISBN 0-517-88441-0.
• (EN) John D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (FR) Paul Langevin, L'évolution de l'éspace et du temps, in Scientia, vol. 10, 1911, pp. 31–54.
• (EN) Joseph Larmor, Upon a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, in Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 190, 1897, pp. 205–300, DOI:10.1098/rsta.1897.0020.
• (EN) Joseph Larmor, Aether and matter, Cambridge, Cambridge University Press, 1900.
• (EN) Hendrik Lorentz, Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems, in Proc. Acad. Science Amsterdam, vol. 1, 1899, pp. 427–443.
• (EN) Hendrik Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light, in Proc. Acad. Science Amsterdam, vol. 4, 1904, pp. 669–678.
• (EN) Hendrik Lorentz, The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat; a course of lectures delivered in Columbia university, New York, in March and April 1906, Lipsia; New York, NY, B.G. Teubner ; G.E. Stechert, 1909.
• (FR) Henri Poincaré, Sur la dynamique de l'électron (PDF), in Comptes Rendues, vol. 140, 1905, pp. 1504–1508.
• (EN) Stephen T. Thornton e Jerry B. Marion, Classical dynamics of particles and systems, 5ª ed., Belmont, CA, Brooks/Cole, 2004, pp. 546–579, ISBN 0-534-40896-6.
• (DE) Woldemar Voigt, Über das Doppler'sche princip, in Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, vol. 2, 1887, pp. 41–51.
• (EN) Moller, The theory of relativity, Clarendon Press, Oxford, 1972.

• Composizione delle velocità
• Contrazione delle lunghezze
• Elettrodinamica
• Fattore di Lorentz
• Gruppo di Lorentz
• Gruppo di Poincaré
• Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento
• Tempo proprio
• Teoria della relatività
• Trasformazioni galileiane
• Trasformazione ortogonale
• Velocità della luce
• Covarianza di Lorentz

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla trasformazione di Lorentz

• Claudio Censori, Trasformazioni di Lorentz, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.  
• Lorentz, trasformazione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Lorentz transformations, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Lorentz Transformation, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Lorentz transformation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  
• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity Archiviato il 29 agosto 2011 in Internet Archive. - a chapter from an online textbook
• Special Relativity: The Lorentz Transformation, The Velocity Addition Law Archiviato il 14 maggio 2017 in Internet Archive. on Project PHYSNET
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.
• Vector Lorentz Transformations. Vector Lorentz Transformations of time, space, velocity and acceleration.