Spazio metrico

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia ${\displaystyle (X,d)}$  di elementi, dove ${\displaystyle X}$  è un insieme e ${\displaystyle d}$  una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  di ${\displaystyle X}$  un numero reale non negativo ${\displaystyle d(x,y)}$  in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di ${\displaystyle x,y,z}$  in ${\displaystyle X}$ :^[1]

• ${\displaystyle d(x,y)>0\iff x\neq y}$ 
• ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$ 
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\ }$ 
• ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ 

L'ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

${\displaystyle f:(X,d)\to (Y,d')}$  è continua in ${\displaystyle x_{0}}$  se per ogni ${\displaystyle r>0}$  esiste un ${\displaystyle \delta (r)>0}$  tale che ${\displaystyle x\in B_{d}(x_{0},\delta (r))}$  implica ${\displaystyle f(x)\in B_{d'}(f(x_{0}),r)}$ ,

dove ${\displaystyle B_{d}}$  (risp. ${\displaystyle B_{d'}}$ ) rappresenta la palla nella metrica ${\displaystyle d}$  (risp. ${\displaystyle d'}$ ). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

${\displaystyle f:(X,d)\to (Y,d')}$  è continua in ${\displaystyle x_{0}}$  se per ogni ${\displaystyle r>0}$  esiste un ${\displaystyle \delta (r)>0}$  tale che ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta (r)}$  implica ${\displaystyle d'(f(x),f(x_{0}))<r}$ .

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.

Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme ${\displaystyle V}$  di ${\displaystyle M\times M}$  essere un entourage se e solo se esiste un ${\displaystyle \epsilon >0}$  tale che se ${\displaystyle d(x,y)<\epsilon }$  allora ${\displaystyle (x,y)\in V}$ . La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle d_{1}}$  la metrica euclidea e ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|e^{x}-e^{y}|}$ ; allora ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|x-y|<1\}}$  è un entourage nella struttura uniforme data da ${\displaystyle d_{1}}$  ma non in quella data da ${\displaystyle d_{2}}$ . Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

Uno spazio vettoriale normato

${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ 

è in modo naturale anche uno spazio metrico dotato della distanza

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ 

Le proprietà della distanza discendono infatti da quelle della norma.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque all'insieme quoziente

${\displaystyle X^{*}=X_{/\sim }}$ 

e definendo, se ${\displaystyle d}$  è la pseudometrica,

${\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)}$ 

la funzione ${\displaystyle d^{*}}$  risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per ${\displaystyle X^{*}}$ . Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su ${\displaystyle X}$  (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè ${\displaystyle A}$  è aperto in ${\displaystyle X}$  se e solo se ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$  (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in ${\displaystyle X^{*}}$ .

Una biiezione ${\displaystyle f}$  tra due spazi metrici ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ , ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$  si dice

• una isometria se ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)}$  per ogni ${\displaystyle x,y}$  (${\displaystyle M_{1}}$  e ${\displaystyle M_{2}}$  sono isometrici).
• una similitudine se ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=kd_{1}(x,y)}$  per qualche ${\displaystyle k>0}$ , per ogni ${\displaystyle x,y}$  (${\displaystyle M_{1}}$  e ${\displaystyle M_{2}}$  sono simili).
• una uniformità se è un isomorfismo tra ${\displaystyle M_{1}}$  e ${\displaystyle M_{2}}$  visti come spazi uniformi.
• un omeomorfismo se è un isomorfismo tra ${\displaystyle M_{1}}$  e ${\displaystyle M_{2}}$  visti come spazi topologici (${\displaystyle M_{1}}$  e ${\displaystyle M_{2}}$  sono omeomorfi).

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

${\displaystyle \delta (x,E)=\inf _{y\in E}d(x,y)}$ 

È ${\displaystyle \delta (x,E)=0}$  se e solo se ${\displaystyle x}$  appartiene alla chiusura di ${\displaystyle E}$ . Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

${\displaystyle \delta (x,E)\leq d(x,y)+\delta (y,E)}$ .

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

• Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:

${\displaystyle d(E,F)=\inf _{x\in E,y\in F}d(x,y)}$ 

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una parametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio ${\displaystyle [1,2)}$  e ${\displaystyle (2,3]}$ ) hanno distanza nulla.

• Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:

${\displaystyle H(A,B)=\max\{e(A,B),e(B,A)\}}$ ,

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con ${\textstyle e(A,B)=\sup _{x\in A}\delta (x,B)}$  l'eccedenza di ${\displaystyle A}$  su ${\displaystyle B}$ ; ${\displaystyle H}$  è detta proprio distanza di Hausdorff di ${\displaystyle A}$  da ${\displaystyle B}$ . In generale ${\displaystyle H}$  è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su ${\displaystyle P_{f}(X)=\{S\subseteq X:S\,{\mbox{chiuso}}\}}$ , sottoclasse dell'insieme delle parti di ${\displaystyle X}$ .

Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se ${\displaystyle E\subseteq X}$ , allora ${\displaystyle E}$  si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

${\displaystyle E\subset B_{d}(x,M)}$  per qualche ${\displaystyle x}$  in ${\displaystyle X}$ .

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

• ponendo per definizione ${\textstyle diam(E)=\sup _{x,y\in E}d(x,y)}$  il diametro di ${\displaystyle E}$ , se esso è un numero finito;
• se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme ${\displaystyle X}$ : se per esempio ${\displaystyle X}$  è uno spazio illimitato con distanza ${\displaystyle d}$ , esso ha diametro 1 nella distanza ${\displaystyle d'={d \over 1+d}}$ .

Se ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  sono spazi metrici con distanze ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$  rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano ${\displaystyle X_{1}\times \dots \times X_{n}}$  tra ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$  e ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})}$  come

${\displaystyle (g_{1}\times \dots \times g_{n})({\vec {x}},{\vec {y}}):=\sum _{i=1}^{n}{1 \over 2^{i}}{g_{i}(x_{i},y_{i}) \over 1+g_{i}(x_{i},y_{i})}}$ .

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se ${\displaystyle N}$  è una norma in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

${\displaystyle N(d_{1},\dots ,d_{n}){\Big (}(x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}=N{\Big (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )}}$ 

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se ${\displaystyle n=2}$ , ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=X}$ , ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d}$  allora viene fuori che la funzione distanza ${\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} ^{+}}$  è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su ${\displaystyle X\times X}$ .

• Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza.
• Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti; in questo caso si dice distanza discreta.
• L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f₁, f₂ della variabile x il numero ${\displaystyle d=\max |f_{1}(x)-f_{2}(x)|}$  è la distanza tra esse.
• Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
• Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti ${\displaystyle x,y}$  è data dalla norma del vettore ${\displaystyle x-y}$ . In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
• L'insieme dei numeri reali, con la distanza data da

${\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|.}$ 

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero ${\displaystyle d(x+z,y+z)}$  è in generale diversa da ${\displaystyle d(x,y)}$ ), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

• Se ${\displaystyle (X,d)}$  è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica ${\displaystyle d_{1}}$  su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere

${\displaystyle d_{1}(x,y)={\frac {d(x,y)}{d(x,y)+1}}.}$ 

Si può verificare che ${\displaystyle d_{1}}$  è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica ${\displaystyle d_{1}}$ , ovvero risulta limitato nella metrica ${\displaystyle d_{1}}$ . La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Spazio pseudometrico
• Spazio ultrametrico

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• Luca Tomassini, spazio metrico, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.  
• spazio metrico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Stephan C. Carlson, metric space, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Opere riguardanti Metric spaces, su Open Library, Internet Archive.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Metric Space, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Metric space, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  
• (EN) Denis Howe, metric space, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL