Sistema numerico binario

Un numero binario è una sequenza di cifre binarie. Ogni cifra in posizione ${\displaystyle n}$  (contate da destra verso sinistra iniziando da zero) si considera moltiplicata per ${\displaystyle 2^{n}}$ , anziché per ${\displaystyle 10^{n}}$ , come avviene nella numerazione decimale.

Nella seguente tabella vengono confrontate le rappresentazioni binarie, esadecimale e decimale dei numeri compresi tra 0 e 15:

La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con ${\displaystyle d_{n}}$  si indica la cifra di posizione ${\displaystyle n}$  all'interno del numero, contate da destra verso sinistra iniziando da 0) è

${\displaystyle d_{n}2^{n}+d_{n-1}2^{n-1}+\dots +d_{1}2^{1}+d_{0}2^{0}=N_{10}}$ 

Ad esempio

${\displaystyle 1001_{2}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=9_{10}}$ .

L'utilizzo dei numeri binari non è ristretto esclusivamente alla rappresentazione dei numeri interi positivi. Adottando alcune convenzioni, è possibile rappresentare numeri interi relativi in binario. Oltre al segno è possibile esprimere in binario i numeri razionali utilizzando, per esempio, lo standard IEEE 754.

I numeri binari possono essere messi in relazione tramite operazioni aritmetiche, con regole simili a quelle del sistema decimale. Le quattro operazioni aritmetiche eseguibili sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Per rendere possibili le operazioni aritmetiche e l'elaborazione dei segnali digitali è necessario esprimere i numeri binari tenendo conto del loro segno.

L'addizione fra due o più numeri binari è analoga a quella riferita ai numeri decimali. La regola applicata in questo caso è la seguente:

1. 0+0=0
2. 0+1=1
3. 1+0=1
4. 1+1=0 con riporto di 1 alla colonna verso sinistra

Quando si ha un riporto si aggiunge 1 sulla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della somma.

La sottrazione nel sistema binario si svolge nel modo seguente:

1. 0-0=0
2. 0-1=1 con prestito di 1 dalla colonna a sinistra
3. 1-0=1
4. 1-1=0

Quando si ha un prestito si sottrae 1 dalla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della differenza. Se sulla colonna di sinistra non si può concedere il prestito perché la cifra è 0, esso si trascina alla colonna successiva verso sinistra finché non si restituisce il prestito.

La regola del prodotto binario segue esattamente quella della moltiplicazione di due numeri decimali. Infatti si ha:

1. 0 × 0=0
2. 0 × 1=0
3. 1 × 0=0
4. 1 × 1=1

L'operazione della divisione rispetta la regola:

${\displaystyle D=Q\times d+R}$ 

dove ${\displaystyle D}$  è il dividendo, ${\displaystyle d}$  il divisore, ${\displaystyle Q}$  è il quoziente ed ${\displaystyle R}$  il resto.

Per eseguire una divisione si può procedere tramite il metodo tradizionale in cui si procede per sottrazioni successive tra il dividendo e il divisore d fino a che il risultato diventi inferiore al divisore. Il risultato finale rappresenta il resto mentre il numero di sottrazioni rappresenta il quoziente.

Il sistema numerico binario ha molti padri. Il primo a proporne l'uso fu Juan Caramuel con la pubblicazione del volume Mathesis biceps. Vetus, et noua, pubblicato a Campagna nel 1669. Se ne trova traccia anche nelle opere di Nepero. Successivamente, il matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz ne studiò per primo l'aritmetica. Questa è la ragione per cui questo sistema di numerazione è considerato tra le sue più grandi invenzioni. Però non ebbe un seguito immediato. L'aritmetica binaria venne ben presto dimenticata e riscoperta solo nel 1847 grazie al matematico inglese George Boole, creatore dell'algebra booleana, che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del Novecento e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico.

• Argyris Kostopoulos, Elementi di telecomunicazioni, Petrini, ISBN 978-88-494-1782-1.

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• sistema binario, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) binary number system, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Binary, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Denis Howe, binary, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) History of the Binary System, su cut-the-knot.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale l'8 aprile 2019).
• Convertitore di base, su wims.unice.fr. URL consultato il 10 maggio 2013 (archiviato dall'url originale il 13 settembre 2012).