Simmetria centrale

Nel piano euclideo, due punti ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle A'}$  si dicono simmetrici rispetto a un punto ${\displaystyle O}$  quando ${\displaystyle O}$  è il punto medio del segmento ${\displaystyle AA'.}$  Il punto ${\displaystyle A'}$  si dice il simmetrico di ${\displaystyle A}$  rispetto a ${\displaystyle O}$  e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto ${\displaystyle A}$  il punto ${\displaystyle A'}$  suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro ${\displaystyle O.}$ 

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione ${\displaystyle \sigma _{O}}$  per indicare la simmetria centrale di centro ${\displaystyle O;}$  il simmetrico di ${\displaystyle A}$  si scrive ${\displaystyle A'=\sigma _{O}(A)}$ .

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

Nel piano cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , la simmetria centrale di centro ${\displaystyle O(x_{0},y_{0})}$  è una corrispondenza biunivoca

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x',y')}$ 

definita nel modo seguente:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x+2x_{0}\\y'=-y+2y_{0}.\end{cases}}}$ 

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$ -dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , la simmetria di centro ${\displaystyle O(x_{01},x_{02},\ldots ,x_{0n})}$  è descritta come

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{O}\colon \mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} ^{n}\\(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\mapsto (x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'),\end{aligned}}}$ 

dove

${\displaystyle x_{k}'=-x_{k}+2\,x_{0k},\quad k=1,2,\ldots ,n.}$ 

Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

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• (EN) Eric W. Weisstein, Simmetria centrale, su MathWorld, Wolfram Research.