Ellissoide

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$ ,

dove ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  e ${\displaystyle c}$  sono numeri reali fissati tali che ${\displaystyle a\geq b\geq c>0}$ . Essi rappresentano i semiassi dell'ellissoide.

Questa definizione permette di individuare la seguente casistica:

• ${\displaystyle a>b>c}$ , si ha un ellissoide scaleno;
• Se due di questi parametri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione
  • ${\displaystyle a>b=c}$ , si ha uno sferoide prolato
  • ${\displaystyle a=b>c}$ , si ha uno sferoide oblato
• ${\displaystyle a=b=c}$ , si ha una sfera

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

Utilizzando le coordinate comuni, dove ${\displaystyle \beta }$  è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e ${\displaystyle \lambda }$  è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\beta )\cos(\lambda )\\y=b\cos(\beta )\sin(\lambda )\\z=c\sin(\beta );\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq +90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}}$ 

(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove ${\displaystyle \scriptstyle {\beta =\pm {90}^{\circ }}}$ )

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove ${\displaystyle \theta }$  è la colatitudine, detta anche zenit, e ${\displaystyle \varphi }$  è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sin(\theta )\cos(\varphi )\\y=b\sin(\theta )\sin(\varphi )\\z=c\cos(\theta )\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}}$ 

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie: ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc.}$ 

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Un'espressione esatta è:

${\displaystyle 2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right),}$ 

dove:

${\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)}$ 

${\displaystyle \!m:={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}};}$ 

mentre ${\displaystyle E(o\!\varepsilon ,m)}$ , ${\displaystyle F(o\!\varepsilon ,m)}$  denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

• ellissoide piatto: ${\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}$ 
• sferoide prolato: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {o\!\varepsilon }{\sin(o\!\varepsilon )}}\right)}$ 
• sferoide oblato: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} (\sin(o\!\varepsilon ))}{\sin(o\!\varepsilon )}}\right)}$ 
• ellissoide scaleno: ${\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}$ 

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Se si applica una trasformazione lineare invertibile a una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o un'ellisse.

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta a una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere un'equazione standard della forma

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}+{t^{2} \over d^{2}}=1}$ .

• Paraboloide
• Iperboloide
• Ellissoide di riferimento
• Ellissoide astroidale
• Sfera locale

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ellissoide

• (EN) Robert Osserman, ellipsoid, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Ellissoide, su MathWorld, Wolfram Research.