Rodonea

L'equazione della rodonea in coordinate polari ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$  è:

${\displaystyle \rho =R\sin \omega \theta }$ ,

dove ${\displaystyle R}$  è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e ${\displaystyle \omega }$  è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come ${\displaystyle \rho =R\cos \omega \theta }$ , che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a ${\displaystyle {\frac {\pi }{2\omega }}}$  radianti.

Se ${\displaystyle \omega }$  è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

• ${\displaystyle \omega }$ , se ${\displaystyle \omega }$  è dispari;
• ${\displaystyle 2\omega }$ , se ${\displaystyle \omega }$  è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a ${\displaystyle 4n+2}$ . Per ${\displaystyle \omega =1}$  si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a ${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{2}}}$  per ${\displaystyle k}$  pari, a ${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{4}}}$  per ${\displaystyle k}$  dispari.

Se ${\displaystyle \omega }$  è un numero razionale ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ , la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle d}$ . Come caso particolare, per ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}}$ , si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece ${\displaystyle \omega }$  è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio ${\displaystyle R}$ .

• (EN) Rhodonea Curves, in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

• Ipocicloide
• Figura di Lissajous

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