Legge di Stefan-Boltzmann

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

${\displaystyle u={\frac {4}{c}}q}$  e ${\displaystyle p={\frac {1}{3}}u}$ 

dove:

• ${\displaystyle u}$  è la densità di energia
• ${\displaystyle c}$  la velocità della luce
• ${\displaystyle q}$  il flusso termico di irraggiamento
• ${\displaystyle p}$  la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

${\displaystyle ~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V}$ 

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}}$ 

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}$ 

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u}$ 

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

${\displaystyle q=\sigma ~T^{4}}$ 

essendo ${\displaystyle \sigma }$  una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di ${\displaystyle c}$  nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

${\displaystyle q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda }$ 

dove:

• ${\displaystyle \nu }$  è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
• ${\displaystyle h}$  è la costante di Planck,
• ${\displaystyle T}$  è la temperatura assoluta,
• ${\displaystyle I(\nu )d\nu }$  è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra ${\displaystyle \nu }$  e ${\displaystyle \nu +d\nu }$ .

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

${\displaystyle I(T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}$ 

dove:

• ${\displaystyle h}$  è la costante di Planck
• ${\displaystyle k}$  è la costante di Boltzmann
• ${\displaystyle c}$  è la velocità della luce nel vuoto
• ${\displaystyle T}$  è la temperatura assoluta
• ${\displaystyle \lambda }$  è la lunghezza d'onda
• ${\displaystyle e}$  è il numero di Eulero

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

${\displaystyle q=\int _{0}^{\infty }I(T)\operatorname {d} \lambda ={2\pi hc^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\lambda ^{5}}{\bigl (}e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1{\bigr )}}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}}$ 

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}} }$ .

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

${\displaystyle \operatorname {E} =\varepsilon \sigma T^{4}}$ 

• Peter Atkins e Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, ISBN 88-08-09649-1.

• Costante di Stefan-Boltzmann
• Legge di Wien
• Legge di Rayleigh-Jeans
• Legge di Planck
• Corpo nero
• Eccitanza
• Legge di Prevost

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• (EN) Stefan-Boltzmann law, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Legge di Stefan-Boltzmann, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.