Jacques Philippe Marie Binet

Tale formula fornisce l'${\displaystyle n}$ -esimo termine ${\displaystyle u_{n}}$  della successione. Questa è definita dalla seguente formula di ricorrenza:

• ${\displaystyle u_{0}=0}$ 
• ${\displaystyle u_{1}=1}$ 
• ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}$ , per ${\displaystyle n>1}$ 

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$ 

Si consideri la seguente frazione:

${\displaystyle A_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}},\quad a\neq b\quad \quad \quad }$ (1)

dalla quale seguono immediatamente

${\displaystyle {\begin{cases}A_{0}=0\\A_{1}=1\end{cases}}\quad \quad \quad }$ (2)

Moltiplicandola per ${\displaystyle a+b}$  si ottiene:

${\displaystyle (a+b){\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n+1}+a^{n}b-ab^{n}-b^{n+1}}{a-b}}={\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}+ab{\frac {a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}}}$ 

e riordinando i termini dell'uguaglianza:

${\displaystyle {\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}=(a+b){\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}-ab{\frac {a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}}\quad \quad \quad }$ (3)

Sostituendo ${\displaystyle A_{n}}$  nella (3) abbiamo poi

${\displaystyle A_{n+1}=(a+b)A_{n}-abA_{n-1}\quad \quad \quad }$ (4)

Se ora cerchiamo due valori ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  tali che:

${\displaystyle {\begin{cases}a+b=1\\-ab=1\end{cases}}\quad \quad \quad }$ (5)

la (4) diventa:

${\displaystyle A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}}$ 

Quest'ultima, unita alla (2) fornisce esattamente la legge della successione di Fibonacci:

${\displaystyle {\begin{cases}A_{0}=0\\A_{1}=1\\A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}\end{cases}}}$ 

Troviamo ora i valori ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$ ; per farlo teniamo conto del fatto (5) che ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  sono due numeri la cui somma è 1 e il cui prodotto è -1. Di conseguenza ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  soddisfano l'equazione di secondo grado:

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ 

le cui soluzioni sono:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1\mp {\sqrt {5}}}{2}}}$ 

Scegliendo ${\displaystyle x_{1}=b}$  e ${\displaystyle x_{2}=a}$ , e sostituendo i valori in (1), si ottiene

${\displaystyle A_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}}}$ 

ossia (con il cambio di notazione ${\displaystyle F_{n}=A_{n}}$ , dato che, come abbiamo visto, ${\displaystyle A_{n}}$  è l'n-esimo termine della successione di Fibonacci):

${\displaystyle F_{n}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{\sqrt {5}}}}$ 

che è la formula di Binet.

Consideriamo le seguenti uguaglianze:

${\displaystyle \phi ^{2}={\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}^{2}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=\phi +1}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{\phi }}={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}={\frac {2({\sqrt {5}}-1)}{({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-1)}}={\frac {2{\sqrt {5}}-2}{5-1}}={\frac {2{\sqrt {5}}-2}{4}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {2}{2}}=\phi -1}$ 

Dalla seconda si ha: ${\displaystyle -{\frac {1}{\phi }}=-(\phi -1)=1-\phi }$ 

A questo punto, proviamo a calcolare le prime potenze di ${\displaystyle \phi }$  e di ${\displaystyle -{\frac {1}{\phi }}}$ . Si trova che:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi ^{0}=1\quad (1)\\&\phi ^{1}=\phi \quad (2)\\&\phi ^{2}=\phi +1\\&\phi ^{3}=\phi (\phi +1)=\phi ^{2}+\phi =(\phi +1)+\phi =2\phi +1\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{0}=1\quad (3)\\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{1}=1-\phi \quad (4)\\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{2}=-{\frac {1-\phi }{\phi }}={\frac {\phi -1}{\phi }}=1-{\frac {1}{\phi }}=1-(\phi -1)=2-\phi \\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{3}=-{\frac {2-\phi }{\phi }}={\frac {\phi -2}{\phi }}=1-{\frac {2}{\phi }}=1-2(\phi -1)=3-2\phi \\\end{aligned}}}$ 

Si può notare dalle uguaglianze appena esposte che in entrambi i casi la successione dei coefficienti di ${\displaystyle \phi }$  e la successione dei termini noti appaiono essere successioni di Fibonacci. In effetti, se poniamo

${\displaystyle \phi ^{n}=a\phi +b\quad \quad \quad }$ (5)

si hanno:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi ^{n+1}=a\phi ^{2}+b\phi =a\phi +a+b\phi =(a+b)\phi +a\\&\phi ^{n+2}=(a+b)\phi ^{2}+a\phi =(a+b)(\phi +1)+a\phi =a\phi +a+b\phi +b+a\phi =(2a+b)\phi +(a+b)\\\end{aligned}}}$ 

Se chiamiamo ${\displaystyle A_{n}}$  e ${\displaystyle B_{n}}$  rispettivamente il coefficiente di ${\displaystyle \phi }$  ed il termine noto che appaiono nella potenza ${\displaystyle n}$ -esima di ${\displaystyle \phi }$  (5), dalla due relazioni appena ricavate possiamo scrivere:

${\displaystyle A_{n}=A_{n-1}+A_{n-2}}$ 

${\displaystyle B_{n}=B_{n-1}+B_{n-2}}$ 

Dalla (1) e dalla (2) si vede che ${\displaystyle A_{0}=0}$ , ${\displaystyle A_{1}=1}$ , ${\displaystyle B_{0}=1}$  e ${\displaystyle B_{1}=1}$ , ovvero i primi due valori di ${\displaystyle A_{n}}$  sono i valori ${\displaystyle F_{n}}$  della successione di Fibonacci per ${\displaystyle n=0}$  ed ${\displaystyle n=1}$  mentre i primi due valori di ${\displaystyle B_{n}}$  sono i valori della successione di Fibonacci per ${\displaystyle n=1}$  ed ${\displaystyle n=2}$ .

Quindi, riassumendo, abbiamo:

${\displaystyle {\begin{cases}A_{0}=F_{0}\\A_{1}=F_{1}\\A_{n}=F_{n};\quad \forall n\geq {2}\\B_{0}=F_{1}\\B_{1}=F_{2}\\B_{n}=F_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\end{cases}}}$ 

Da quanto abbiamo appena scritto risulta evidente che:

${\displaystyle \phi ^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}\quad (6)}$ 

Analogamente, per le potenze di ${\displaystyle -{\frac {1}{\phi }}}$ , ponendo

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=a-b\phi \quad (7)}$ 

si ottengono:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n+1}=-{\frac {a-b\phi }{\phi }}={\frac {b\phi -a}{\phi }}=b-{\frac {a}{\phi }}=b-a(\phi -1)=(a+b)-a\phi \\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n+2}=-{\frac {(a+b)-a\phi }{\phi }}={\frac {a\phi -(a+b)}{\phi }}=a-{\frac {a+b}{\phi }}=a-(a+b)(\phi -1)=(2a+b)-(a+b)\phi \\\end{aligned}}}$ 

da cui, detti rispettivamente ${\displaystyle A_{n}}$  e ${\displaystyle B_{n}}$  il termine noto e il coefficiente di ${\displaystyle \phi }$  relativi alla potenza n-esima di ${\displaystyle -{\frac {1}{\phi }}}$  (7), si hanno ancora:

${\displaystyle A_{n+2}=A_{n}+A_{n+1}}$ 

${\displaystyle B_{n+2}=B_{n}+B_{n+1}}$ 

Dalla (3) e dalla (4) si vede che

${\displaystyle {\begin{cases}A_{0}=F_{1}\\A_{1}=F_{2}\\A_{n+2}=A_{n}+A_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\\B_{0}=F_{0}\\B_{1}=F_{1}\\B_{n+2}=B_{n}+B_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\end{cases}}}$ 

Da quanto abbiamo appena scritto risulta evidente che

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n+1}-F_{n}\phi \quad (8)}$ 

Sottraendo la (8) dalla (6) otteniamo:

${\displaystyle \phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}-(F_{n+1}-F_{n}\phi )}$ 

Inoltre, siccome

${\displaystyle F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}}$ 

possiamo riscrivere la relazione precedente come segue:

${\displaystyle \phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}-(F_{n}+F_{n-1}-F_{n}\phi )=F_{n}\phi -(F_{n}-F_{n}\phi )=2F_{n}\phi -F_{n}}$ 

Infine, raccogliendo ${\displaystyle F_{n}}$  abbiamo:

${\displaystyle (2\phi -1)F_{n}=\phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}\quad \implies \quad F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\displaystyle {\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}}}{2\phi -1}}\quad (9)}$ 

Per cui, ricordando dalla parte iniziale della dimostrazione che ${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$  e ${\displaystyle {\frac {1}{\phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ , la (9) diventa:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}}}{2\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1}}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{{\sqrt {5}}+1-1}}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{\sqrt {5}}}}$ 

che corrisponde proprio alla formula di Binet.

Si consideri una particella che abbia una accelerazione puramente centripeta ${\displaystyle \mathbf {a} }$  verso un punto fisso nel nostro sistema di riferimento e siano ${\displaystyle (r,\theta )}$  le sue coordinate polari nel nostro riferimento. La velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e il vettore accelerazione ${\displaystyle \mathbf {a} }$  di quella particella verificano le seguenti equazioni:^[1]

• ${\displaystyle \mathbf {v} =2{\dot {A}}\left(-{\frac {dk}{d\theta }}\mathbf {n} +k\mathbf {h} \right);\quad \lVert \mathbf {v} \rVert =2{\dot {A}}{\sqrt {{\left({\frac {dk}{d\theta }}\right)}^{2}+k^{2}}}}$ 
• ${\displaystyle \mathbf {a} =-4{\dot {A}}^{2}k^{2}\mathbf {n} \left({\frac {d^{2}k}{d\theta ^{2}}}+k\right)}$ 

dove ${\displaystyle k={\frac {1}{r}}}$  è la curvatura normale istantanea della traiettoria, ${\displaystyle \mathbf {n} }$  sarebbe il versore radiale ${\displaystyle \mathbf {\rho } ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ , che però in questo caso coincide in ogni istante con quello normale ${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {a} }{a}}}$ , ${\displaystyle \mathbf {h} }$  è il versore trasversale, per definizione a lui perpendicolare, e ${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$  è la velocità areolare, costante, della particella. Quindi la particella sta compiendo un moto piano, poiché per la definizione di accelerazione e velocità e le proprietà del prodotto vettoriale:

${\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {a} \times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}}$ 

Ciò equivale a dire che è costante nel tempo il prodotto:

${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {r} =2{\dot {A}}\left(-{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}\mathbf {n} +k\mathbf {h} \right)\times (r\mathbf {n} )=2{\dot {A}}\mathbf {h} \times \mathbf {n} =2{\dot {A}}\mathbf {b} }$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {b} }$  risulta in effetti il versore binormale, ricordando che ${\displaystyle \mathbf {h} }$  è linearmente dipendente da ${\displaystyle \mathbf {n} }$  stesso. Ma allora risulta nullo il prodotto misto:

${\displaystyle 0=\mathbf {v} \times \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =2{\dot {A}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {r} }$ 

e quindi ${\displaystyle \mathbf {r} }$  rimane sul piano passante per ${\displaystyle O}$  che ha inclinazione costante in quanto normale a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ .

Detta ${\displaystyle \mathbf {p} }$  la quantità di moto del corpo, ${\displaystyle \mathbf {L} }$  il suo momento angolare ed ${\displaystyle \mathbf {F} }$  la forza centrale, per la relazione tra velocità areolare e momento angolare valgono:

• ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {L} t{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}\right)}^{2}+k^{2}}}}$ 
• ${\displaystyle \mathbf {F} =-2L{\dot {A}}k^{2}\mathbf {n} \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}k}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+k\right)}$ 

• Formule additive: ${\displaystyle \forall a,b\quad a+b-b=a}$ 
• Formule moltiplicative: ${\displaystyle \forall a,b\quad {\frac {a}{b}}\cdot b=a}$ 

Queste formule sono elementari, ma Binet seppe sottolinearne l'importanza.

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Jacques Philippe Marie Binet

• Binet, Jacques-Philippe-Marie, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Ettore Carruccio, BINET, Jacques-Philippe-Marie, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1930.  
• Binet, Jacques-Philippe-Marie, su sapere.it, De Agostini.  
• Binet, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Jacques Philippe Marie Binet, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland.  
• (EN) Jacques Philippe Marie Binet, in Catholic Encyclopedia, Robert Appleton Company.  
• (FR) Mouvements à accélération centrale, su uel-pcsm.education.fr. URL consultato il 27 aprile 2006 (archiviato dall'url originale il 12 marzo 2007).